山东省聊城市2017-2018学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2018-07-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $(z + i) (1 + 3 i) = 10 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $6$ D、 $3$

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2. 用反正法证明命题“若 $a^{2} + b^{2} = 0$ ，则 $a$ 、 $b$ 全为 $0$ （ $a 、 b \in R$ ）”，其假设正确的是（）

A、 $a$ 、 $b$ 至少有一个为 $0$ B、 $a$ 、 $b$ 至少有一个不为 $0$ C、 $a$ 、 $b$ 全不为 $0$ D、 $a$ 、 $b$ 只有一个为 $0$

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3. 在复平面内，复数 $5 + 3 i$ ， $- 1 + 5 i$ 对应的点分为 $A$ ， $B$ ，若 $C$ 为线段 $A B$ 的中点，则点 $C$ 对应的复数是（）

A、 $3 + i$ B、 $- 3 + i$ C、 $2 + 4 i$ D、 $2 - 4 i$

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4. 观察一列算式： $1 \oplus 1$ ， $1 \oplus 2$ ， $2 \oplus 1$ ， $1 \oplus 3$ ， $2 \oplus 2$ ， $3 \oplus 1$ ， $1 \oplus 4$ ， $2 \oplus 3$ ， $3 \oplus 2$ ， $4 \oplus 1$ ，...，则式子 $5 \oplus 3$ 是第（）

A、 $23$ 项 B、 $24$ 项 C、 $25$ 项 D、 $26$ 项

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5. 已知函数 $f (x) = tan x$ ，则 $f' (π) =$ （）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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6. 某中学于2018年4月4日召开春季运动会，在开幕式之前，由高一，高二学生自发准备了 $7$ 个娱乐节目，其中有 $3$ 个舞蹈节目， $2$ 个乐器独奏， $2$ 个歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外 $3$ 个舞蹈节目不相邻，则这 $7$ 个节目出场的不同编排种数为（）

A、 $48$ B、 $24$ C、 $12$ D、 $36$

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7. $\int_{0}^{2} (x^{2} + 1) d x =$ （）

A、 $\frac{14}{3}$ B、 $6$ C、 $8$ D、 $10$

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8. 已知函数 $f (x) = x (2017 + ln x)$ ，若 $f' (x_{0}) = 2018$ ，则 $x_{0}$ 等于（）

A、 $e^{2}$ B、 $1$ C、 $e$ D、 $ln 2$

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9. 甲、乙、丙、丁四人进行选择题解题比赛，已知每个选择题选择正确得 $5$ 分，否则得 $0$ 分.其测试结果如下：甲解题正确的个数小于乙解题正确的个数，乙解题正确的个数小于丙解题正确的个数，丙解题正确的个数小于丁解题正确的个数；且丁解题正确的个数的 $2$ 倍小于甲解题正确的个数的 $3$ 倍，则这四人测试总得分数最少为（）

A、 $150$ B、 $160$ C、 $170$ D、 $180$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{x e^{x}}{a} - x^{2} - 2 x - 3$ ， $(a < 0)$ ，若 $y = f (x)$ 有两点零点，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $- \frac{1}{2 e} < a < 0$ B、 $- \frac{1}{2 e} \leq a < 0$ C、 $a < - \frac{1}{2 e}$ D、 $a \leq - \frac{1}{2 e}$

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二、填空题

11. 若曲线 $f (x) = 2 e^{x} (x + a)$ 上一点 $P (0 ， 2)$ 处的切线与直线 $y - b x - 1 = 0$ 垂直，则 $b$ 的值为．

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12. $(x - y) {(2 x + y)}^{5}$ 的展开式中含有 $x^{3} y^{3}$ 项的系数为．

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13. 2018年3月22 日，中国杯四国足球邀请赛在南宁市体育中心开赛，小张带着儿子，女儿和爸爸、妈妈、弟弟一起去观看中国国家队与威尔士国家队的比赛，赛场-排有 $6$ 个位置，若这 $6$ 人并排而坐，则小张儿子、女儿三人中恰有两人相邻的坐法有种．

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14. ${(\frac{1 + i}{1 - i})}^{4} =$

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15. 牛顿通过研究发现，形如 ${(a x + b)}^{n}$ 形式的可以展开成关于 $x$ 的多项式，即 ${(a x + b)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}$ $+ ... + a_{n} x^{n}$ 的形式其中各项的系数可以采用“逐次求导赋值法”计算.例如：在原式中令 $x = 0$ 可以求得 $a_{0}$ ，第一次求导数之后再取 $x = 0$ ，可求得 $a_{1}$ ，再次求导之后取 $x = 0$ 可求得 $a_{2}$ ，依次下去可以求得任意一项的系数，设 $e^{x} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{n} x^{n} +$ ...，则当 $n = 5$ 时， $e =$ (用分数表示)

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三、解答题

16. 设复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，且 $2 z + \bar{z} = 3 + i$ ， $ω = sin θ - i cos θ$ ，复数 $z - ω$ 对应复平面的向量 $\overset{⇀}{O M}$ ，求 $z$ 的值和 ${| \overset{⇀}{O M} |}^{2}$ 的取值范围.

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17. 若 $x$ ， $y$ 都是正实数，且 $x + y > \frac{4}{3}$ .求证： $\frac{2 + x}{y} < 4$ 与 $\frac{2 + y}{x} < 4$ 中至少有一个成立.

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18. 已知函数 $f (x) = x ln x$ .

(1)、讨论 $y = f (x)$ 的单调性并求极值；

(2)、证明：当 $x > 1$ 时， ${ln}^{2} (x + 1) > ln x \cdot ln (x + 2)$ .

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - a x$ （ $e$ 为自然对数的底数， $a \in R$ ），在 $(0 ， f (0))$ 处的切线为 $x + y - 1 = 0$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在 $x$ 轴上是否存在一点 $P$ ，使得过 $P$ 点可以作 $y = f (x) + 2 x$ 的三条切钱？若存在，请求出横坐标为整数的 $P$ 点坐标；若不存在，请说明理由.

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