2016年人教新课标A版高考数学二模试卷

试卷更新日期：2017-01-19 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知复数1﹣i= $\frac{2 + 4 i}{z}$ （i为虚数单位），则z等于（）

A、﹣1+3i B、﹣1+2i C、1﹣3i D、1﹣2i

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2. 下列命题中正确的是（）

A、若ξ服从正态分布N（0，2），且P（ξ＞2）=0.4，则P（0＜ξ＜2）=0.2 B、x=1是x²﹣x=0的必要不充分条件 C、直线ax+y+2=0与ax﹣y+4=0垂直的充要条件为a=±1 D、“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0，则xy≠0”

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3. 已知θ∈（﹣ $\frac{π}{2}$ ，0）且3tanθ•sinθ=8，则cos（ $\frac{3 π}{2}$ ﹣2θ）的值为（）

A、﹣ $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ C、﹣ $\frac{2 \sqrt{2}}{9}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{9}$

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4. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若S₉=2，则a₂+a₁₀+a₁₁﹣a₁₃=（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、2 D、4

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5. （2x+ $\frac{1}{x}$ ）ⁿ的展开式的第三项系数与第四项系数相等，则二项式系数之和为（）

A、128 B、36 C、256 D、512

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6. 已知F₁ ， F₂是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若点F₂关于直线y= $\frac{b}{a}$ x的对称点M也在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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7. 已知三棱锥的直观图及正视图与俯视图如图，其中正视图是直角边为3的等腰直角三角形，俯视图是边长为3的正三角形，则该三棱锥侧视图的面积为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$

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8. 已知程序框图如图，则输出的i=（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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9. 已知四面体P﹣ABC中，PA=4，AC=2 $\sqrt{7}$ ，PB=BC=2 $\sqrt{3}$ ，PA⊥平面PBC，则四面体P﹣ABC的外接球半径为（）

A、2 $\sqrt{2}$ B、2 $\sqrt{3}$ C、4 $\sqrt{2}$ D、4 $\sqrt{3}$

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10. 已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A Q} = (1 - λ) \vec{A C}$ ，λ∈R．若 $\vec{B Q} \cdot \vec{C P}$ =﹣ $\frac{3}{2}$ ，则λ=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1 \pm \sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{- 3 \pm \sqrt{2}}{2}$

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11. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为（）

A、.0.0324 B、0.0434 C、0.0528 D、0.0562

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12. 已知函数f（x）=1+x﹣ $\frac{x^{2}}{2}$ + $\frac{x^{3}}{3}$ ﹣ $\frac{x^{4}}{4}$ ﹣…+ $\frac{x^{2013}}{2013}$ ﹣ $\frac{x^{2014}}{2014}$ + $\frac{x^{2015}}{2015}$ ，则下列结论正确的是（）

A、f（x）在（0，1）上恰有一个零点 B、f（x）在（0，1）上恰有两个零点 C、f（x）在（﹣1，0）上恰有一个零点 D、f（x）在（﹣1，0）上恰有两个零点

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二、填空题：

13. 已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（﹣x）=f（2+x），且当0＜x≤1时，f（x）=log₂（3x+1），则
f（2015）等于．

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14. 已知F₁ ， F₂是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3}$ =1的左右焦点，点A（1， $\frac{3}{2}$ ），则∠F₁AF₂的角平分线l所在直线的斜率为． ′．

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15. 已知x、y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 1 \\ x - y \geq - 1 \\ 2 x - y \leq 2 \end{matrix}$ ，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则 $\frac{3}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为．

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16. 如表中的数阵为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为a_ij ，则数字109在表中出现的次数为．

2	3	4	5	6	7	…
3	5	7	9	11	13	…
4	7	10	13	16	19	…
5	9	13	17	21	25	…
6	11	16	21	26	31	…
7	13	19	25	31	37	…
…	…	…	…	…	…	…

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三、解答题：

17. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且对任意正整数n都有a_n是n与S_n的等差中项，b_n=a_n+1．

(1)、求证：数列{b_n}是等比数列，并求出其通项b_n；

(2)、若数列{C_n}满足C_n= $\frac{1}{\log_{2} b_{n}}$ 且数列{C $_{n}^{2}$ }的前n项和为T_n ，证明T_n＜2．

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18. 如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，AB=BC=BD=4，E、F分别为棱BC、AD的中点．

(1)、求异面直线AB与EF所成角的余弦值；

(2)、求E到平面ACD的距离；

(3)、求EF与平面ACD所成角的正弦值．

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19. 某旅游为了解2015年国庆节期间参加某境外旅游线路的游客的人均购物消费情况，随机对50人做了问卷调查，得如下频数分布表：
人均购物消费情况
[0，2000]
（2000，4000]
（4000，6000]
（6000，8000]
（8000，10000]
额数
15
20
9
3
3
附：临界值表参考公式：
P（K²≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a+b+c+d．

(1)、做出这些数据的频率分布直方图并估计次境外旅游线路游客的人均购物的消费平均值；

(2)、在调查问卷中有一项是“您会资助失学儿童的金额？”，调查情况如表，请补全如表，并说明是否有95%以上的把握认为资助数额多于或少于500元和自身购物是否到4000元有关？
人均购物消费不超过4000元
人均购物消费超过4000元
合计
资助超过500元
30
资助不超过500元
6
合计

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20. 已知椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为e= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点（1， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ）．抛物线C₂：x²=﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣ $\frac{1}{2}$ ）．
（Ⅰ）求椭圆C₁和抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）若点M是直线l：2x﹣4y+3=0上的动点，过点M作抛物线C₂的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆C₁于P，Q两点．
（i）求证直线AB过定点，并求出该定点坐标；
（ii）当△OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程．

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21. 已知a＞0，函数f（x）= $\frac{a}{x}$ +|lnx﹣a|，x∈[1，e²]．

(1)、当a=3时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；

(2)、若f（x）≤ $\frac{3}{2}$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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22. 如图，DE是⊙O的直径，过⊙O上的点C作直线AB，交ED的延长线于点B，且OA=OB，CA=CB，连结EC，CD．

(1)、求证：直线AB是⊙O的切线；

(2)、若tan∠CED= $\frac{1}{2}$ ，⊙O的半径为3，求OA的长．

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23. 以平面直角坐标系原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系．已知直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 - 3 t \\ y = - 1 + 2 t \end{matrix}$ （t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．

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24. 已知m、n∈R⁺ ， f（x）=|x+m|+|2x﹣n|．

(1)、求f（x）的最小值；

(2)、若f（x）的最小值为2，证明：4（m²+ $\frac{n^{2}}{4}$ ）的最小值为8．

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2	3	4	5	6	7	…
3	5	7	9	11	13	…
4	7	10	13	16	19	…
5	9	13	17	21	25	…
6	11	16	21	26	31	…
7	13	19	25	31	37	…
…	…	…	…	…	…	…

人均购物消费情况	[0，2000]	（2000，4000]	（4000，6000]	（6000，8000]	（8000，10000]
额数	15	20	9	3	3

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	人均购物消费不超过4000元	人均购物消费超过4000元	合计
资助超过500元	30
资助不超过500元		6
合计

2	3	4	5	6	7	…
3	5	7	9	11	13	…
4	7	10	13	16	19	…
5	9	13	17	21	25	…
6	11	16	21	26	31	…
7	13	19	25	31	37	…
…	…	…	…	…	…	…

2	3	4	5	6	7	…
3	5	7	9	11	13	…
4	7	10	13	16	19	…
5	9	13	17	21	25	…
6	11	16	21	26	31	…
7	13	19	25	31	37	…
…	…	…	…	…	…	…