2016年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-01-19 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 集合A={x|x²﹣2x≤0}，B={x|y=lg（1﹣x）}，则A∩B等于（　　）

A、{x|0＜x≤1} B、{x|0≤x＜1} C、{x|1＜x≤2} D、{x|1≤x＜2}

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2. 已知角α，β均为锐角，且cosα= $\frac{3}{5}$ ， tan（α﹣β）=﹣ $\frac{1}{3}$ ， tanβ=（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{9}{13}$ C、 $\frac{13}{9}$ D、3

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3. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）

A、80 B、40 C、 $\frac{80}{3}$ D、 $\frac{40}{3}$

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4. 某校开设A类课3门，B类课5门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（　　）

A、15种 B、30种 C、45种 D、90种

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5. 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）

A、f（x）=x² B、f（x）=sinx C、f（x）=e^x D、f（x）= $\frac{1}{x}$

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6. 设复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，
p₁：|z|= $\sqrt{5}$ ，
p₂：复数z在复平面内对应的点在第四象限；
p₃：z的共轭复数为﹣1+2i，
p₄：z的虚部为2i．
其中的真命题为（　　）

A、p₁ ， p₃ B、p₂ ， p₃ C、p₁ ， p₂ D、p₁ ， p₄

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7. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，且 $S_{10} = \int_{0}^{3} (1 + 2 x) d x$ ，S₂₀=17，则S₃₀为（）

A、15 B、20 C、25 D、30

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8. 函数y=2log₄（1﹣x）的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知 ${\begin{matrix} x + y \geq 1 \\ x - y \geq - 1 \\ 2 x - y \leq 2 \end{matrix}$ ，若目标函数z=4ax+3by（a＞0，b＞0）最大值为12，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、4 D、 $\frac{1}{2}$

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10. 若等式x⁴+4x³+3x²+2x+1=（x+1）⁴+a（x+1）³+b（x+1）²+c（x+1）+d恒成立，则（a，b，c，d）等于（）

A、（1，2，3，﹣1） B、（2，3，4，﹣1） C、（0，﹣1，2，﹣2） D、（0，﹣3，4，﹣1）

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11. 设a＞0，b＞0（）

A、若lna+2a=lnb+3b，则a＞b B、2^a+2a=2^b+3b，则a＜b C、若lna﹣2a=lnb﹣3b，则a＞b D、2^a﹣2a=2^b﹣3b，则a＜b

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12. 已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x₁ ， y₁）∈M，存在（x₂ ， y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①M={ $(x ， y) | y = \frac{1}{x}$ }；
②M={（x，y）|y=sinx+1}；
③M={（x，y）|y=log₂x}；
④M={（x，y）|y=e^x﹣2}．
其中是“垂直对点集”的序号是（）

A、①② B、②③ C、①④ D、②④

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二、填空题：

13. 若图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）n（n＞1，n∈N^*）个点，相应的图案中总的点数记为a_n ，则 $\frac{9}{a_{2} a_{3}}$ + $\frac{9}{a_{3} a_{4}}$ + $\frac{9}{a_{4} a_{5}}$ +…+ $\frac{9}{a_{2015} a_{2016}}$ = ．

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14. 在△ABC中，A=60°，b=1， $S_{△} = \frac{\sqrt{3}}{2} ，则 \frac{a + b + c}{\sin A + \sin B + \sin C}$ = ．

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15. △ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2 $\vec{O A} + \vec{A B} + \vec{A C} = \vec{0}$ ，且| $\vec{O A}$ |=| $\vec{A B}$ |，则向量 $\vec{C A}$ 在 $\vec{C B}$ 方向上的投影为．

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16. 已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，
x
﹣1
0
2
4
5
f（x）
1
2
1.5
2
1
下列关于函数f（x）的命题：
①函数f（x）的值域为[1，2]；
②如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值为2，那么t的最大值为4；
③函数f（x）在[0，2]上是减函数；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a最多有4个零点．
其中正确命题的序号是．

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三、解答题：

17. 在等比数列{a_n}中，a₂=3，a₅=81，b_n=1+2log₃a_n ．

(1)、求数列{b_n}的前n项的和；

(2)、已知数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前项的和为S_n ，证明： $S_{n} < \frac{1}{2}$ ．

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18. 已知函数f（x）= $\sqrt{3}$ sinωxcosωx﹣cos²ωx﹣ $\frac{1}{2}$ （ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c= $\sqrt{7}$ ，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．

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19. 已知函数f（x）=lnx+ $\frac{1}{2}$ ax²﹣2bx

(1)、设点a=﹣3，b=1，求f（x）的最大值；

(2)、当a=0，b=﹣ $\frac{1}{2}$ 时，方程2mf（x）=x²有唯一实数解，求正数m的取值范围．

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20. 如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，2AE=BD=2．
（Ⅰ）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC；
（Ⅱ）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．

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21. 已知函数f（x）=e^x（e=2.71828…），g（x）为其反函数．

(1)、求函数F（x）=g（x）﹣ax的单调区间；

(2)、设直线l与f（x），g（x）均相切，切点分别为（x₁ ， f（x₁）），（x₂ ， f（x₂）），且x₁＞x₂＞0，求证：x₁＞1．

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22. 设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，a∈M，b∈M

(1)、试比较ab+1与a+b的大小

(2)、设max表示数集A的最大数，h=max{ $\frac{2}{\sqrt{a}}$ ， $\frac{a^{2} + b^{2}}{\sqrt{a b}}$ ， $\frac{2}{\sqrt{b}}$ }，求证h≥2．

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23. 极坐标系中椭圆C的方程为ρ²= $\frac{2}{\cos^{2} θ + 2 \sin^{2} θ}$ ，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度．

(1)、求该椭圆的直角标方程，若椭圆上任一点坐标为P（x，y），求x+ $\sqrt{2}$ y的取值范围；

(2)、若椭圆的两条弦AB，CD交于点Q，且直线AB与CD的倾斜角互补，求证：|QA|•|QB|=|QC|•|QD|．

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24. 如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．
（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；
（Ⅱ）若AC=AP，求 $\frac{P C}{P A}$ 的值．

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x	﹣1	0	2	4	5
f（x）	1	2	1.5	2	1