河北省遵化市2017-2018学年高二下学期文数期中考试试卷

试卷更新日期：2018-07-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. $i$ 是虚数单位，复数 $z = 1 + i$ ，则 $z^{2} + \frac{2}{z} =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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2. 函数 $y = x^{2} cos x$ 的导数为（）

A、 $y^{'} = 2 x cos x - x^{2} sin x$ B、 $y^{'} = 2 x cos x + x^{2} sin x$ C、 $y^{'} = x^{2} cos x - 2 x sin x$ D、 $y^{'} = x cos x - x^{2} sin x$

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3. 点 $M (\sqrt{3} ， - 1)$ 的极坐标为（）

A、 $(2 ， \frac{5 π}{6})$ B、 $(2 ， \frac{π}{6})$ C、 $(2 ， \frac{7 π}{6})$ D、 $(2 ， \frac{11 π}{6})$

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4. 函数 $f (x) = ln x - 2 x$ 的递减区间是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ 和 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{2})$ 和 $(0 ， \frac{1}{2})$

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5. 在同一直角坐标系中，曲线 $C ： x^{2} + y^{2} = 1$ 经过伸缩变换 ${\begin{matrix} x^{'} = \frac{1}{3} x \\ y^{'} = 2 y \end{matrix}$ 后曲线 $C$ 变为（）

A、 $9 x^{2} + \frac{1}{4} y^{2} = 1$ B、 $\frac{1}{9} x^{2} + \frac{1}{4} y^{2} = 1$ C、 $9 x^{2} + 4 y^{2} = 1$ D、 $\frac{1}{9} x^{2} + 4 y^{2} = 1$

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6. 复数 $z$ 满足 $(z - 3) (2 - i)=5$ （ $i$ 是虚数单位），则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 为（）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $5 - i$ D、 $5 + i$

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 f^{'} (2) x - 2 ln x$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、1 B、-1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + a x$ 是 $R$ 上的增函数，则 $a$ 的取值范围（）

A、 $(0 ， 3)$ B、 $(- \infty ， 0) \cup^{} (3 ， + \infty)$ C、 $[0 ， 3]$ D、 $(- \infty ， 0] \cup^{} [3 ， + \infty)$

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9. 执行如图所示的程序框图，若输入 $x = 2$ ，则输出 $y$ 的值为（）

A、2 B、5 C、11 D、23

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10. 已知 $z = x + y i (x ， y \in R)$ 且 $| z | = 1$ ，则 $x + \sqrt{3} y$ 的最大值（）

A、 $1 + \sqrt{3}$ B、2 C、1 D、 $\sqrt{3}$

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11. 学校艺术节对同一类的A、B、C、D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“是C或D作品获得一等奖” 乙说：“B作品获得一等奖”
丙说：“A、D两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C作品获得一等奖”
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（）

A、C作品 B、D作品 C、B作品 D、A作品

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12. 设 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别是定义在 $R$ 上的奇函数和偶函数，当 $x < 0$ 时， $f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x) > 0$ ，且 $f (- 3) = 0$ ，则不等式 $f (x) g (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(- 3 ， 0) \cup^{} (3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 3) \cup^{} (0 ， 3)$ C、 $(- \infty ， - 3) \cup^{} (3 ， + \infty)$ D、 $(- 3 ， 0) \cup^{} (0 ， 3)$

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二、填空题

13. 设 $O$ 是原点，向量 $\overset{⇀}{O A} ， \overset{⇀}{O B}$ 对应的复数分别为 $2 - 3 i$ ， $- 3 + 2 i$ ，那么向量 $\overset{⇀}{B A}$ 对应的复数是．

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14. 已知函数 $f (x) = x {(x - m)}^{2}$ 在 $x = 2$ 处取得极小值，则 $m =$ ．

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15. 某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：
根据上表可得回归直线方程 $\hat{y} = 0.56 x + \hat{a}$ ，根据模型预测身高为174厘米高三男生体重为

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16. 给出下列等式： $\frac{3}{1 \times 2} \times \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2^{2}}$ ；
$\frac{3}{1 \times 2} \times \frac{1}{2} + \frac{4}{2 \times 3} \times \frac{1}{2^{2}} = 1 - \frac{1}{3 \times 2^{2}}$ ；
$\frac{3}{1 \times 2} \times \frac{1}{2} + \frac{4}{2 \times 3} \times \frac{1}{2^{2}}$ $+ \frac{5}{3 \times 4} \times \frac{1}{2^{3}} = 1 - \frac{1}{4 \times 2^{3}}$ ， $\dots \dots$
由以上等式推出一个一般结论：
对于 $n \in N^{*}$ ， $\frac{3}{1 \times 2} \times \frac{1}{2} + \frac{4}{2 \times 3} \times \frac{1}{2^{2}} +$ $\dots + \frac{n + 2}{n (n + 1)} \times \frac{1}{2^{n}} =$

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三、解答题

17. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = t + 1 \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），曲线 $P$ 在以该直角坐标系的原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为 $ρ^{2} - 4 ρ cos θ + 3 = 0$ .
（Ⅰ)求曲线 $C$ 的普通方程和曲线 $P$ 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线 $C$ 和曲线 $P$ 的交点为 $A$ 、 $B$ ，求 $| A B |$ .

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18. 某班主任对该班22名学生进行了作业量的调查，在喜欢玩电脑游戏的12人中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多.

(1)、根据以上数据建立一个 $2 \times 2$ 列联表.

(2)、对于该班学生，能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系？
下面临界值表仅供参考：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.05
0.01
0.001
$k_{0}$
3.841
6.635
10.828
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = x - 2 ln x$

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f(1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $y = f (x)$ 的最小值.

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20. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 $x$ 吨与每吨产品的价格 $p$ （元/吨）之间的关系式为： $p = 24200 - \frac{1}{5} x^{2}$ ，且生产 $x$ 吨的成本为 $R = 50000 + 200 x$ ，问达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）

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21. 已知函数 $f (x) = a x - x^{2} - ln x$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在极值，且所有极值之和大于 $5 - ln \frac{1}{2}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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22. 设函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + a ln (1 + x)$
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性；（Ⅱ）若 a = 1 ，证明：当 x > 0 时， f ( x ) < e x − 1 .

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.01	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828