2016年山东省德州市高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-01-18 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知复数z满足z•i=1+i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内所对应的点的坐标为（）

A、（1，1） B、（﹣1，﹣1） C、（1，﹣1） D、（﹣1，1）

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2. 若全集U=R，集合A={x|x²﹣x﹣2≥0}，B={x|log₃（2﹣x）≤1}，则A∩（∁_UB）=（）

A、{x|x＜2} B、{x|x＜﹣1或x≥2} C、{x|x≥2} D、{x|x≤﹣1或x＞2}

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3. 已知p：“直线l的倾斜角 $α > \frac{π}{4}$ ”；q：“直线l的斜率k＞1”，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 不等式|x+1|﹣|x﹣5|＜4的解集为（）

A、（﹣∞，4） B、（﹣∞，﹣4） C、（4，+∞） D、（﹣4，+∞）

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5. 为了增强环保意识，某校从男生中随机制取了60人，从女生中随机制取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：
优秀
非优秀
总计
男生
40
20
60
女生
20
30
50
总计
60
50
110
附：x²= $\frac{n {(n_{11} n_{12} - n_{12} n_{21})}^{2}}{n_{1} + n_{2} + n_{+ 1} n_{+ 2}}$
P（K²≥k）
0.500
0.100
0.050
0.010
0.001
k
0.455
2.706
3.841
6.635
10.828
则有（）的把握认为环保知识是否优秀与性别有关．

A、90% B、95% C、99% D、99.9%

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6. 函数y= $\frac{2 x}{\ln x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知双曲线与椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的焦点重合，它们的离心率之和为 $\frac{14}{5}$ ，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{5}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{3}{5} x$ D、y= $\pm \sqrt{3} x$

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8. 已知点A（﹣2，0），B（2，0），若圆（x﹣3）²+y²=r²（r＞0）上存在点P（不同于点A，B）使得PA⊥PB，则实数r的取值范围是（）

A、（1，5） B、[1，5] C、（1，3] D、[3，5]

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9. 运行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）

A、e²⁰¹⁶﹣e²⁰¹⁵ B、e²⁰¹⁷﹣e²⁰¹⁶ C、e²⁰¹⁵﹣1 D、e²⁰¹⁶﹣1

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10. f（x）是定义在（0，+∞）上单调函数，且对∀x∈（0，+∞），都有f（f（x）﹣lnx）=e+1，则方程f（x）﹣f′（x）=e的实数解所在的区间是（）

A、（0， $\frac{1}{e}$ ） B、（ $\frac{1}{e}$ ，1） C、（1，e） D、（e，3）

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二、填空题

11. 已知两个单位向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为60°， $\vec{c} = t \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{d} = \vec{a} - t \vec{b}$ ，若 $\vec{c} ⊥ \vec{d}$ ，则正实数t= ．

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12. 某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为．

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13. 已知x，y满足 ${\begin{matrix} y \geq x \\ x + y \leq 2 \\ x \geq a \end{matrix}$ ，且z=2x﹣y的最大值是最小值的﹣2倍，则a的值是．

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14. （x²+x+1）（1﹣x）⁴展开式中x²的系数为．

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15. 若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则对称点（P，Q）是函数y=f（x）的一个“伙伴点组”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“伙伴点组”）．则下列函数中，恰有两个“伙伴点组”的函数是（填空写所有正确选项的序号）
①y= ${\begin{matrix} x^{3} ， x > 0 \\ - x - 1 ， x < 0 \end{matrix}$ ；②y= ${\begin{matrix} \frac{1}{2} x - 1 ， x > 0 \\ - \ln | x | ， x < 0 \end{matrix}$ ；③y= ${\begin{matrix} \log_{2} x ， x > 0 \\ - x^{2} - 4 x ， x < 0 \end{matrix}$ ；④y= ${\begin{matrix} 3 x + \frac{1}{2} ， x > 0 \\ e^{- x} ， x < 0 \end{matrix}$ ．

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三、解答题

16. 已知函数f（x）=2 $\sqrt{3}$ sin $\frac{ω x}{2}$ cos $\frac{ω x}{2}$ ﹣2sin² $\frac{ω x}{2}$ （ω＞0）的最小正周期为3π．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，a＜b＜c， $\sqrt{3}$ a=2csinA，并且f（ $\frac{3}{2}$ A+ $\frac{π}{2}$ ）= $\frac{11}{13}$ ，求cosB的值．

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17. 连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为a_i ，若存在正整数k，使a₁+a₂+…+a_k=6，则称k为你的幸运数字．

(1)、求你的幸运数字为3的概率；

(2)、若k=1，则你的得分为5分；若k=2，则你的得分为3分；若k=3，则你的得分为1分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分，求得分X的分布列和数学期望．

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18. 在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=4，AB=4 $\sqrt{3}$ ，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=2．

(1)、求证：BD⊥PC；

(2)、求证：MN∥平面PDC；

(3)、求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

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19. 已知数列{a_n}满足a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n（n∈N^*）．

(1)、求数列{a_n}的通项公式a_n；

(2)、令 $b_{n} \cdot 2^{\frac{1}{a_{n}}} = \frac{1}{a_{2 n - 1}} (n \in N^{*}) ， T_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}$ ，写出T_n关于n的表达式，并求满足T_n＞ $\frac{5}{2}$ 时n的取值范围．

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20. 设函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{2} a x^{2} + b x (a > 0) ， f^{'} (x) = 0$ ．

(1)、用含a的式子表示b；

(2)、令F（x）= $f (x) + \frac{1}{2} a x^{2} - b x + \frac{a}{x} (0 < x \leq 3)$ ，其图象上任意一点P（x₀ ， y₀）处切线的斜率 $k \leq \frac{1}{2}$ 恒成立，求实数a的取值范围；

(3)、若a=2，试求f（x）在区间 $[c ， c + \frac{1}{2}] (c > 0)$ 上的最大值．

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21. 已知抛物线E：y²=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆（x﹣5）²+y²=9的两条切线，切点为M，N，|MN|=3 $\sqrt{3}$

(1)、求抛物线E的方程；

(2)、设A，B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \frac{9}{4}$ （其中O为坐标原点）．
①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；
②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．

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P（K²≥k）	0.500	0.100	0.050	0.010	0.001
k	0.455	2.706	3.841	6.635	10.828

	优秀	非优秀	总计
男生	40	20	60
女生	20	30	50
总计	60	50	110