2016年北京市西城区中考数学二模试卷

试卷更新日期：2017-01-18 类型：中考模拟

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一、选择题

1. 调查显示，2016年“两会”期间，通过手机等移动端设备对“两会”相关话题的浏览量高达115 000 000次．将115 000 000 用科学记数法表示应为（）

A、1.15×10⁹ B、11.5×10⁷ C、1.15×10⁸ D、1.15⁸

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2. “瓦当”是中国古代用以装饰美化建筑物檐头的建筑附件，其图案各式各样，属于中国特有的文化艺术遗产．下列“瓦当”的图案中，是轴对称图形的为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列各式中计算正确的是（）

A、x²•x⁴=x⁶ B、2m﹣（n+1）=2m﹣n+1 C、x⁵+2x⁵=3x¹⁰ D、（2a）³=2a³

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4. 有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6 个大小相同的扇形．在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色．为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的概率为 $\frac{2}{3}$ ，则下列各图中涂色方案正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为（）

A、1：2 B、1：4 C、1：8 D、1：16

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6.
如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于点E．若AB=24，OE=5，则⊙O的半径为（）

A、15 B、13 C、12 D、10

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7.
如图，在一次定向越野活动中，“超越”小组准备从目前所在的A 处前往相距2km的B处，则相对于A处来说，B处的位置是（）

A、南偏西50°，2km B、南偏东50°，2km C、北偏西40°，2km D、北偏东40°，2km

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8. 教材中“整式的加减”一章的知识结构如图所示，则A和B分别代表的是（）

A、分式，因式分解 B、二次根式，合并同类项 C、多项式，因式分解 D、多项式，合并同类项

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9. 某商店在节日期间开展优惠促销活动：购买原价超过200元的商品，超过200元的部分可以享受打折优惠．若购买商品的实际付款金额y（单位：元）与商品原价x（单位：元）的函数关系的图象如图所示，则超过200元的部分可以享受的优惠是（）

A、打八折 B、打七折 C、打六折 D、打五折

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10.
一组管道如图1所示，其中四边形ABCD是矩形，O是AC的中点，管道由AB，BC，CD，DA，OA，OB，OC，OD组成，在BC的中点M 处放置了一台定位仪器．一个机器人在管道内匀速行进，对管道进行检测．设机器人行进的时间为x，机器人与定位仪器之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则机器人的行进路线可能为（）

A、A→O→D B、B→O→D C、A→B→O D、A→D→O

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二、填空题

11. 方程|x+2|+ $\sqrt{y - 3}$ =0，则xy的值为．

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12. 一个扇形的半径长为5，且圆心角为72°，则此扇形的弧长为．

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13. 有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中∠B=90°．按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形ADEC中，若∠1=165°，则∠2的度数为°．

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14. 某班级进行了一次诗歌朗诵比赛，甲、乙两组学生的成绩如表所示：
组别
平均分
中位数
方差
甲
6.9
8
2.65
乙
7.1
7
0.38
你认为哪一组的成绩更好一些？并说明理由．
答：组（填“甲”或“乙”），理由是．

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15. 有一列有序数对：（1，2），（4，5），（9，10），（16，17），…，按此规律，第5对有序数对为；若在平面直角坐标系xOy中，以这些有序数对为坐标的点都在同一条直线上，则这条直线的表达式为．

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16. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0），P是第一象限内任意一点，连接PO，PA，若∠POA=m°，∠PAO=n°，则我们把（m°，n°）叫做点P 的“双角坐标”．例如，点（1，1）的“双角坐标”为（45°，90°）．

(1)、点（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ）的“双角坐标”为；

(2)、若点P到x轴的距离为 $\frac{1}{2}$ ，则m+n的最小值为．

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三、解答题

17. 计算：﹣（﹣9）+（﹣2）³+|2﹣ $\sqrt{5}$ |+2sin30°．

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18.
如图，在△ABC 中，D是AB边上一点，且DC=DB．点E在CD的延长线上，且∠EBC=∠ACB．求证：AC=EB．

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19. 先化简，再求值： $\frac{x}{x^{2} - 1}$ ÷（ $\frac{x + 2}{2 x - 2}$ ﹣ $\frac{1}{x - 1}$ ），其中x= $\sqrt{2}$ ﹣1．

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20. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8．

(1)、求证：四边形ABCD是菱形；

(2)、过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长．

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21. 已知关于x的方程x²﹣4mx+4m²﹣9=0．

(1)、求证：此方程有两个不相等的实数根；

(2)、设此方程的两个根分别为x₁ ， x₂ ，其中x₁＜x₂ ．若2x₁=x₂+1，求 m的值．

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22. 列方程或方程组解应用题：
为祝贺北京成功获得2022年冬奥会主办权，某工艺品厂准备生产纪念北京申办冬奥会成功的“纪念章”和“冬奥印”．生产一枚“纪念章”需要用甲种原料4盒，乙种原料3盒；生产一枚“冬奥印”需要用甲种原料5 盒，乙种原料10 盒．该厂购进甲、乙两种原料分别为20000盒和30000盒，如果将所购进原料正好全部都用完，那么能生产“纪念章”和“冬奥印”各多少枚？

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23. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y₁= $\frac{k}{x}$ 的图象与一次函数y₂=ax+b的图象交于点A（1，3）和B（﹣3，m）．

(1)、求反比例函数y₁= $\frac{k}{x}$ 和一次函数y₂=ax+b的表达式；

(2)、点C 是坐标平面内一点，BC∥x 轴，AD⊥BC 交直线BC 于点D，连接AC．若AC= $\sqrt{5}$ CD，求点C的坐标．

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24.
如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连接AC，AE，∠ACB=∠BAE=45°

(1)、求证：AE是⊙O的切线；

(2)、若 AB=AD，AC=2 $\sqrt{2}$ ，tan∠ADC=3，求CD的长．

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25. 阅读下列材料：

根据联合国《人口老龄化及其社会经济后果》中提到的标准，当一个国家或地区65 岁及以上老年人口数量占总人口比例超过7%时，意味着这个国家或地区进入老龄化．从经济角度，一般可用“老年人口抚养比”来反映人口老龄化社会的后果．所谓“老年人口抚养比”是指某范围人口中，老年人口数（65 岁及以上人口数）与劳动年龄人口数（15﹣64 岁人口数）之比，通常用百分比表示，用以表明每100 名劳动年龄人口要负担多少名老年人．

以下是根据我国近几年的人口相关数据制作的统计图和统计表．

2011﹣2014 年全国人口年龄分布图

2011﹣2014 年全国人口年龄分布表

	2011年	2012年	2013年	2014年
0﹣14岁人口占总人口的百分比	16.4%	16.5%	16.4%	16.5%
15﹣64岁人口占总人口的百分比	74.5%	74.1%	73.9%	73.5%
65岁及以上人口占总人口的百分比	m	9.4%	9.7%	10.0%

根据以上材料解答下列问题：

(1)、2011 年末，我国总人口约为亿，全国人口年龄分布表中m的值为；

(2)、若按目前我国的人口自然增长率推测，到2027 年末我国约有14.60 亿人．假设0﹣14岁人口占总人口的百分比一直稳定在16.5%，15﹣64岁人口一直稳定在10 亿，那么2027 年末我国0﹣14岁人口约为亿，“老年人口抚养比”约为；（精确到1%）

(3)、2016 年1 月1 日起我国开始实施“全面二胎”政策，一对夫妻可生育两个孩子，在未来10年内，假设出生率显著提高，这（填“会”或“不会”）对我国的“老年人口抚养比”产生影响．

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26. 探究函数y=x+ $\frac{9}{x}$ 的图象与性质

(1)、函数y=x+ $\frac{9}{x}$ 的自变量x的取值范围是；

(2)、
下列四个函数图象中，函数y=x+ $\frac{9}{x}$ 的图象大致是

(3)、对于函数y=x+ $\frac{9}{x}$ ，求当x＞0时，y的取值范围．
请将下面求解此问题的过程补充完整：
解：∵x＞0
∴y=x+ $\frac{9}{x}$
=（ $\sqrt{x}$ ）²+（ $\frac{3}{\sqrt{x}}$ ）²
=（ $\sqrt{x}$ ﹣ $\frac{3}{\sqrt{x}}$ ）²+
∵（ $\sqrt{x}$ ﹣ $\frac{3}{\sqrt{x}}$ ）²≥0，
∴y ．

(4)、若函数y= $\frac{x^{2} - 5 x + 9}{x}$ ，则y的取值范围是

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27. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C₁：y₁=ax²﹣4ax﹣4的顶点在x轴上，直线l：y₂=﹣x+5与x轴交于点A．

(1)、求抛物线C₁：y₁=ax²﹣4ax﹣4的表达式及其顶点坐标；

(2)、点B是线段OA上的一个动点，且点B的坐标为（t，0）．过点B作直线BD⊥x轴交直线l于点D，交抛物线C₂：y₃=ax²﹣4ax﹣4+t 于点E．设点D的纵坐标为m，设点E的纵坐标为n，求证：m≥n；

(3)、在第（2）问的条件下，若抛物线C₂：y₃=ax²﹣4ax﹣4+t 与线段BD有公共点，结合函数的图象，求t的取值范围．

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28. 在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．点P为直线AB上一个动点（点P不与点A，B重合），连接PC，点D在直线BC上，且PD=PC．过点P作PE⊥PC，点D，E在直线AC的同侧，且PE=PC，连接BE．

(1)、
情况一：当点P在线段AB上时，图形如图1 所示；

情况二：如图2，当点P在BA的延长线上，且AP＜AB时，请依题意补全图2；．

(2)、请从问题（1）的两种情况中，任选一种情况，完成下列问题：
①求证：∠ACP=∠DPB；
②用等式表示线段BC，BP，BE之间的数量关系，并证明．

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29. 在平面直角坐标系 xOy中，对于点P（x，y），以及两个无公共点的图形W₁和W₂ ，若在图形W₁和W₂上分别存在点M （x₁ ， y₁ ）和N （x₂ ， y₂ ），使得P是线段MN的中点，则称点M 和N被点P“关联”，并称点P为图形W₁和W₂的一个“中位点”，此时P，M，N三个点的坐标满足x= $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ，y= $\frac{y_{1} + y_{2}}{2}$

(1)、已知点A（0，1），B（4，1），C（3，﹣1），D（3，﹣2），连接AB，CD．
①对于线段AB和线段CD，若点A和C被点P“关联”，则点P的坐标为；
②线段AB和线段CD的一“中位点”是Q （2，﹣ $\frac{1}{2}$ ），求这两条线段上被点Q“关联”的两个点的坐标；

(2)、如图1，已知点R（﹣2，0）和抛物线W₁：y=x²﹣2x，对于抛物线W₁上的每一个点M，在抛物线W₂上都存在点N，使得点N和M 被点R“关联”，请在图1 中画出符合条件的抛物线W₂；

(3)、
正方形EFGH的顶点分别是E（﹣4，1），F（﹣4，﹣1），G（﹣2，﹣1），H（﹣2，1），⊙T的圆心为T（3，0），半径为1．请在图2中画出由正方形EFGH和⊙T的所有“中位点”组成的图形（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示），并直接写出该图形的面积．

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组别	平均分	中位数	方差
甲	6.9	8	2.65
乙	7.1	7	0.38