2016年江苏省泰州市高考数学模拟试卷

试卷更新日期：2017-01-18 类型：高考模拟

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一、填空题：

1. 设集合A={1，2，3，5}，B={2，3，6}，则A∪B= ．

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2. 已知复数z满足（1+i）z=1（为虚数单位），则z的模为．

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3. 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为．

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4. 在平面直角坐标系xOy中，D是到原点的距离不大于1的点构成的区域，E是满足不等式组 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y \geq 0 \\ x \leq 0 \end{matrix}$ 的点（x，y）构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是．

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5. 如图是一个算法的流程图，则输出i的值为．

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6. 已知抛物线y²=8x的焦点恰好是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{3}$ =1的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．

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7. 已知正四棱锥的底面边长为2 $\sqrt{3}$ ，侧面积为8 $\sqrt{3}$ ，则它的体积为．

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8. 过两点A（1，0），B（2，1），且圆心在直线x﹣y=0上的圆的标准方程是

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9. 若等比数列{a_n}的公比q≠1且满足：a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=6，a₁²+a₂²+a₃²+a₄²+a₅²=18，则a₁﹣a₂+a₃﹣a₄+a₅的值是．

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10. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在实数x₀ ，使得对任意的实数x，都有f（x₀）≤f（x）≤f（x₀+6π）成立，则ω的最小值为．

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11. 已知质点P在半径为10cm的圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度是1rad/s，设A（10，0）为起始点，记点P在y轴上的射影为M，则10π秒时点M的速度是 cm/s．

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12. 在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB=1，EF= $\sqrt{2}$ ，CD= $\sqrt{5}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{D C}$ 的值为．

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13. 已知 ${\begin{matrix} x > \frac{1}{3} \\ y > 1 \end{matrix}$ ，若对满足条件的任意实数x，y，不等式 $\frac{9 x^{2}}{a^{2} (y - 1)}$ + $\frac{y^{2}}{a^{2} (3 x - 1)}$ ≥1恒成立，则实数a的最大值是．

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14. 若函数f（x）= ${\begin{matrix} 6^{x} - m ， x < 1 \\ x^{2} - 3 m x + 2 m^{2} ， x \geq 1 \end{matrix}$ 恰有2个零点，则实数m的取值范围是．

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二、解答题

15. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c（a＜b＜c）．已知向量 $\vec{m}$ =（a，c）， $\vec{n}$ =（cosC，cosA）满足 $\vec{m}$ • $\vec{n}$ = $\frac{1}{2}$ （a+c）．

(1)、求证：a+c=2b；

(2)、若2csinA﹣ $\sqrt{3}$ a=0，且c﹣a=8，求△ABC的面积S．

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16. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．
（Ⅰ）求证：AB∥EF；
（Ⅱ）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．

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17. 如图，江的两岸可近似的看成两平行的直线，江岸的一侧有A，B两个蔬菜基地，江的另一侧点C处有一个超市．已知A、B、C中任意两点间的距离为20千米．超市欲在AB之间建一个运输中转站D，A，B两处的蔬菜运抵D处后，再统一经过货轮运抵C处．由于A，B两处蔬菜的差异，这两处的运输费用也不同．如果从A处出发的运输费为每千米2元，从B处出发的运输费为每千米1元，货轮的运输费为每千米3元．

(1)、设∠ADC=α，试将运输总费用S（单位：元）表示为α的函数S（α），并写出自变量的取值范围；

(2)、问中转站D建在何处时，运输总费用S最小？并求出最小值．

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18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - 1}$ =1（a＞1）的左、右顶点分别为A、B，P是椭圆C上任一点，且点P位于第一象限．直线PA交y轴于点Q，直线PB交y轴于点R．当点Q坐标为（0，1）时，点R坐标为（0，2）

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、求证： $\vec{O Q} \cdot \vec{O R}$ 为定值；

(3)、求证：过点R且与直线QB垂直的直线经过定点，并求出该定点的坐标．

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19. 已知各项均不为0的数列{a_n}满足a₁=a，a₂=b，且a_n²=a_n_﹣₁a_n₊₁+λ（n≥2，n∈N），其中λ∈R．

(1)、若λ=0，求证：数列{a_n}是等比数列；

(2)、求证：数列{a_n}是等差数列的充要条件是λ=（b﹣a）²；

(3)、若数列{b_n}为各项均为正数的等比数列，且对任意的n∈N^* ，满足b_n﹣a_n=1，求证：数列{（﹣1）ⁿa_nb_n}的前2n项和为常数．

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20. 已知函数f（x）=alnx+ax²+bx，（a，b∈R）．

(1)、设a=1，f（x）在x=1处的切线过点（2，6），求b的值；

(2)、设b=a²+2，求函数f（x）在区间[1，4]上的最大值；

(3)、定义：一般的，设函数g（x）的定义域为D，若存在x₀∈D，使g（x₀）=x₀成立，则称x₀为函数g（x）的不动点．设a＞0，试问当函数f（x）有两个不同的不动点时，这两个不动点能否同时也是函数f（x）的极值点？

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21. 如图，已知点P为Rt△ABC的斜边AB的延长线上一点，且PC与Rt△ABC的外接圆相切，CD⊥AB于D，求证： $\frac{C D}{C P}$ = $\frac{D B}{B P}$ ．

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22. 已知矩阵A= $[\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 3 & - 5 \end{matrix}]$ ，若矩阵Z满足A^﹣¹Z= $[\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}]$ ，试求矩阵Z．

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23. 在极坐标系中，设直线过点A（ $\sqrt{3}$ ， $\frac{2 π}{3}$ ），B（3， $\frac{π}{2}$ ），且直线与曲线C：ρ=2rsinθ（r＞0）有且只有一个公共点，求实数r的值．

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24. 已知a，b是正常数，x，y∈（0，+∞），求证： $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y}$ ≥ $\frac{{(a + b)}^{2}}{x + y}$ ．

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25. 环保部门对5家造纸厂进行排污检查，若检查不合格，则必须整改，整改后经复查仍然不合格的，则关闭．设每家造纸厂检查是否合格是相互独立的，且每家造纸厂检查前合格的概率是 $\frac{1}{2}$ ，整改后检查合格的概率是 $\frac{4}{5}$ ，求：
（Ⅰ）恰好有两家造纸厂必须整改的概率；
（Ⅱ）至少要关闭一家造纸厂的概率；
（Ⅲ）平均多少家造纸厂需要整改？（其中（ $\frac{9}{10}$ ）⁵≈ $\frac{59}{100}$ ）

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26. 已知恒等式（1+x+x²）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ ．

(1)、求a₁+a₂+a₃+…+a_2n和a₂+2a₃+2²a₄+…+2²ⁿ^﹣²a_2n的值；

(2)、当n≥6时，求证： $A_{2}^{2}$ a₂+2A $_{3}^{2}$ a₃+…+2²ⁿ^﹣² $A_{2 n}^{2}$ a_2n＜49ⁿ^﹣² ．

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