2016年江苏省淮安市高考数学信息卷（5月份）

试卷更新日期：2017-01-18 类型：高考模拟

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一、填空题：

1. 已知集合A={1，2，3}，B={a+2，a}，若A∩B=B，则∁_AB= ．

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2. 设复数z满足z（2+i）=10﹣5i，（i为虚数单位），则复数z的实部为．

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3. 函数f（x）=ln（x﹣x²）的定义域为．

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4. 某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为万元．

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5. 如图是一个算法流程图，则输出的k值是

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6. 从1，2，3，4，5中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为．

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7. 已知圆锥的母线长为5，高为 $\sqrt{21}$ ，则此圆锥的底面积和侧面积之比为．

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8. 已知函数f（x）=x+alnx，若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处的切线过原点，则实数a的值为．

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9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{m - 3}$ =1的右焦点F到其一条渐近线距离为3，则实数m的值是．

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ （0≤x＜π），且 $f (α) = f (β) = \frac{1}{2}$ （α≠β），则α+β= ．

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11. 设x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x \leq 0 \\ x - y \leq 0 \\ 2 x - y + 1 \geq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数z=xy的取值范围为．

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12. 已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为﹣4，其前n项和为S_n ．若存在m∈N⁺ ，使得S_m=36，则实数a的最小值为．

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13. 在区间（﹣∞，t]上存在x，使得不等式x²﹣4x+t≤0成立，则实数t的取值范围是．

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14. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2，CD=4，BC= $\sqrt{5}$ ，点E，F分别为AD，BC的中点．如果对于常数λ，在ABCD的四条边上，有且只有8个不同的点P使得 $\vec{P E} \cdot \vec{P F}$ =λ成立，那么实数λ的取值范围为．

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二、解答题：

15. 已知 $\vec{m}$ =（cosα，sinα）， $\vec{n}$ =（ $\sqrt{3}$ ，﹣1），α∈（0，π）．

(1)、若 $\vec{m}$ ⊥ $\vec{n}$ ，求角α的值；

(2)、求| $\vec{m}$ + $\vec{n}$ |的最小值．

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16. 在三棱锥P﹣ABC中，D为AB的中点．

(1)、与BC平行的平面PDE交AC于点E，判断点E在AC上的位置并说明理由如下：

(2)、若PA=PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC．

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17. 某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，A，B两点为喷泉，圆心O为AB的中点，其中OA=OB=a米，半径OC=10米，市民可位于水池边缘任意一点C处观赏．

(1)、若当∠OBC= $\frac{2 π}{3}$ 时，sin∠BCO= $\frac{1}{3}$ ，求此时a的值；

(2)、设y=CA²+CB² ，且CA²+CB²≤232．
（i）试将y表示为a的函数，并求出a的取值范围；
（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点C处观赏喷泉时，观赏角度∠ACB的最大值不小于 $\frac{π}{6}$ ，试求A，B两处喷泉间距离的最小值．

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18. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，椭圆C 与y 轴交于A，B 两点，且|AB|=2．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线x=4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x 轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值．

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19. 已知数列{a_n}，其前n项和为S_n ．

(1)、若{a_n}是公差为d（d＞0）的等差数列，且{ $\sqrt{s_{n} + n}$ }也为公差为d的等差数列，求数列{a_n}的通项公式；

(2)、若数列{a_n}对任意m，n∈N^* ，且m≠n，都有 $\frac{2 s_{m + n}}{m + n}$ =a_m+a_n+ $\frac{a_{m} - a_{n}}{m - n}$ ，求证：数列{a_n}是等差数列．

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20. 已知函数f（x）= $\frac{a x^{2}}{e^{x}}$ ，直线y= $\frac{1}{e}$ x为曲线y=f（x）的切线（e为自然对数的底数）．

(1)、求实数a的值；

(2)、用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g（x）=min{f（x），x﹣ $\frac{1}{x}$ }（x＞0），若函数h（x）=g（x）﹣cx²为增函数，求实数c的取值范围．

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21. 如图，已知PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点A作PO的垂线交⊙O于点B，垂足为D．
证明：EF²=4OD•OP．

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22. 选修：4﹣2：矩阵与变换
若圆C：x²+y²=1在矩阵 $A = [\begin{matrix} a & 0 \\ 0 & b \end{matrix}]$ （a＞0，b＞0）对应的变换下变成椭圆E： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，求矩阵A的逆矩阵A^﹣¹ ．

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23. 已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是 ${\begin{matrix} x = - \frac{3}{5} t + 2 \\ y = \frac{4}{5} t \end{matrix}$ （t为参数）．设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．

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24. 实数x，y，z满足x＞0，y＞0，z＞0，求证： $\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \leq \frac{x}{2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{2} + \frac{3}{2}$ ．

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25. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，已知AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA₁=3．D是线段BC的中点．

(1)、求直线DB₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值；

(2)、求二面角B₁﹣A₁D﹣C₁的大小的余弦值．

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26. 已知非空集合M满足M⊆{0，1，2，…，n}（n≥2，n∈N⁺）．若存在非负整数k（k≤n），使得当a∈M时，均有2k﹣a∈M，则称集合M具有性质P．设具有性质P的集合M的个数为f（n）．

(1)、求f（2）的值；

(2)、求f（n）的表达式．

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