2016年吉林省白山市高考数学四模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-01-18 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 若集合A={x∈N|﹣1＜x＜5}，B={y|y=4﹣x，x∈A}，则（）

A、A∪B={1，2，3} B、A=B C、A∩B={1，2，3} D、B⊆A

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2. 复数z满足 $\frac{z}{1 - z}$ =2i，则z平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. “2^x＞2”是“lgx＞﹣1”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知函数f（x）=sin（ωx+ $\frac{π}{3}$ ）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（）

A、关于直线x= $\frac{π}{3}$ 对称 B、关于点（ $\frac{π}{3}$ ，0）对称 C、关于直线x=﹣ $\frac{π}{6}$ 对称 D、关于点（ $\frac{π}{6}$ ，0）对称

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5. 若双曲线C：mx²+y²=1的离心率为2k（k＞0），其中k为双曲线C的一条渐近线的斜率，则m的值为（）

A、﹣ $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{- 1 - \sqrt{17}}{8}$ C、﹣3 D、 $\frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{8}$

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6. 一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）

A、21π B、24π C、28π D、36π

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7. 若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（mod m），例如10≡4（mod 6）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的（中国剩余定理），执行该程序框图，则输出的n等于（）

A、17 B、16 C、15 D、13

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8. 已知数列{a_n}中，a₁=2， $\frac{a_{n + 1} - 1}{a_{n} - 1}$ =3，若a_n≤100，则n的最大值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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9. （x+ $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ ﹣4y）⁷的展开式中不含x的项的系数之和为（）

A、﹣C₇³C₄³4³﹣4⁷ B、﹣C₇²C₄²4³+4⁷ C、﹣4⁷ D、4⁷

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10. 设a＞0，且x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} 3 a x - y - 9 \leq 0 \\ x + 4 y - 16 \leq 0 \\ x + a \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，若z=x+y的最大值为7，则 $\frac{y}{x + 3}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{13}{8}$ B、 $\frac{15}{8}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{17}{8}$

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11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{64}{3}$ +8π B、24+8π C、16+8π D、8+16π

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12. 设函数y=ax²与函数y=| $\frac{\ln x + 1}{a x}$ |的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（）

A、（ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ e， $\sqrt{e}$ ） B、（﹣ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ e，0）∪（0， $\frac{\sqrt{3}}{3}$ e） C、（0， $\frac{\sqrt{3}}{3}$ e） D、（ $\frac{1}{\sqrt{e}}$ ，1）∪{ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ e}

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二、填空题

13. 在边长为4的正△ABC中，D为BC的中点，则 $\vec{D A}$ • $\vec{A B}$ = ．

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14. 若抛物线C：y²=4x上一点A到抛物线的焦点的距离为3，O为坐标原点，则直线OA的斜率为．

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15. 偶函数f（x）的周期为3，当x∈[0，1]时，f（x）=3^x ，则 $\frac{f (\log_{3} 54)}{f (2015)}$ 的值为．

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16. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₄=7且4S_n=n（a_n+a_n₊₁），则S_n﹣8a_n的最小值为．

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三、解答题

17. 在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，3sin²C+8sin²A=11sinA•sinC，且c＜2a．

(1)、求证：△ABC为等腰三角形

(2)、若△ABC的面积为8 $\sqrt{15}$ ．且sinB= $\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，求BC边上的中线长．

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18. 在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E，M，N分别为PD，CD，AD的中点， $\vec{P F}$ =3 $\vec{F D}$ ．

(1)、证明：PB∥平面FMN；

(2)、若PA=AB，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．

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19. 某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间（t），结果如下：
类别
铁观音
龙井
金骏眉
大红袍
顾客数（人）
20
30
40
10
时间t（分钟/人）
2
3
4
6
注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．

(1)、求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；

(2)、用X表示至第4分钟末已准备好了工具的顾客人数，求X的分布列及数学期望．

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20. 如图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，焦距为2 $\sqrt{2}$ ，直线x=﹣a与y=b交于点D，且|BD|=3 $\sqrt{2}$ ，过点B作直线l交直线x=﹣a于点M，交椭圆于另一点P．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、证明： $\vec{O M} \cdot \vec{O P}$ 为定值．

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21. 已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e^x ．

(1)、当a=2时，求函数f（x）的最值；

(2)、当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l₁ ， l₂ ，已知两切线的斜率互为倒数，证明： $\frac{e - 1}{e}$ ＜a＜ $\frac{e^{2} - 1}{e}$ ．

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22. 如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．

(1)、若 $\frac{E C}{C B}$ = $\frac{1}{3}$ ， $\frac{E D}{D A}$ =1，求 $\frac{D C}{A B}$ 的值；

(2)、若EF²=FA•FB，证明：EF∥CD．

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23. 在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 3 t + 1 \\ y = 4 t + 3 \end{matrix}$ （t为参数）．

(1)、求圆C的直角坐标方程（化为标准方程）和直线l的极坐标方程；

(2)、若直线l与圆C只有一个公共点，且a＜1，求a的值．

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24. 设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3，a∈R．

(1)、若a=1，解不等式f（x）≤4；

(2)、若函数f（x）有最小值，求a的取值范围．

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类别	铁观音	龙井	金骏眉	大红袍
顾客数（人）	20	30	40	10
时间t（分钟/人）	2	3	4	6