2016年湖北省武汉市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）

试卷更新日期：2017-01-18 类型：高考模拟

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一、选择题:

1. 已知集合A={1，3， $\sqrt{m}$ }，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（）

A、0或 $\sqrt{3}$ B、0或3 C、1或 $\sqrt{3}$ D、1或3

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2. 设z₁ ， z₂是复数，则下列命题中的假命题是（）

A、若|z₁﹣z₂|=0，则 $\bar{z_{1}}$ = $\bar{z_{2}}$ B、若z₁= $\bar{z_{2}}$ ，则 $\bar{z_{1}}$ =z₂ C、若|z₁|=|z₂|，则z₁• $\bar{z_{1}}$ =z₂• $\bar{z_{2}}$ D、若|z₁|=|z₂|，则z₁²=z₂²

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3. 下列四种说法中，
①命题“存在x∈R，x²﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x²﹣x＜0”；
②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；
③已知幂函数f（x）=x^α的图象经过点（2， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ），则f（4）的值等于 $\frac{1}{2}$ ；
④已知向量 $\vec{a}$ =（3，﹣4）， $\vec{b}$ =（2，1），则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影是 $\frac{2}{5}$ ．
说法错误的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是（）

A、k＜6？ B、k＜7？ C、k＜8？ D、k＜9？

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5. 正四棱锥S﹣ABCD底面边长为2，高为1，E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为（）

A、1+ $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、2 $\sqrt{3}$

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6. 已知等边△ABC中，点P在线段AB上，且 $\vec{A P}$ = $λ \vec{P B}$ ，若 $\vec{C P}$ • $\vec{A B} = \vec{P A}$ • $\vec{P B}$ ，则实数λ的值为（）

A、2 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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7. 将二项式（x+ $\frac{2}{\sqrt{x}}$ ）⁶展开式中各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（）

A、 $\frac{2}{7}$ B、 $\frac{1}{35}$ C、 $\frac{8}{35}$ D、 $\frac{7}{24}$

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8. 如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：d=Asin（ωt+φ）+k（A＞0，ω＞0）， $- \frac{π}{2} < ϕ < \frac{π}{2}$ ，且当P点从水面上浮现时开始计算时间．则（）

A、 $ω = \frac{2 π}{15}$ ，k=5 B、A=10， $ϕ = \frac{π}{6}$ C、 $ω = \frac{π}{15}$ ， $ϕ = - \frac{π}{6}$ D、A=10，k=10

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9. 已知点F₁ ， F₂分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若 $\frac{{| P F_{1} |}^{2}}{| P F_{2} |}$ 的最小值为9a，则双曲线的离心率为（）

A、2 B、5 C、3 D、2或5

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10. 数列{a_n}满足a₁= $\frac{3}{2}$ ，a_n₊₁=a_n²﹣a_n+1（n∈N^*），则m= $\frac{1}{a_{1}}$ + $\frac{1}{a_{2}}$ +…+ $\frac{1}{a_{2014}}$ 的整数部分是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11. 已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D是所有满足 $\vec{A P}$ = $λ \vec{A B}$ +μ $\vec{A C}$ （1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域．若区域D的面积为8，则4a+b的最小值为（）

A、5 B、4 $\sqrt{2}$ C、9 D、5+4 $\sqrt{2}$

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12. 已知f（x）=|x•e^x|，又g（x）=f²（x）+tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围为（）

A、（﹣∞，﹣ $\frac{e^{2} + 1}{e}$ ） B、（ $\frac{e^{2} + 1}{e}$ ，+∞） C、（﹣ $\frac{e^{2} + 1}{e}$ ，﹣2） D、（2， $\frac{e^{2} + 1}{e}$ ）

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二、填空题：

13. 已知函数f（x）= $\ln (\sqrt{1 + 9 x^{2}} - 3 x) + 1$ ，则f（lg2）+f（lg $\frac{1}{2}$ ）= ．

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14. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．

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15. 已知函数f（x）= $\int_{0}^{x}$ （﹣3x²+3f′（2））dx，则f′（2）= ．

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16. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为．

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三、解答题：

17. 如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC= $\sqrt{3}$ DC．
（I）若∠DAC=30°，求角B的大小；
（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=2 $\sqrt{2}$ ，求DC的长．

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18. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．

(1)、若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；

(2)、若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，在线段PC上是否存在点M，使二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°．若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由．

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19. 近年来，武汉市出现了非常严重的雾霾天气，而燃放烟花爆竹会加重雾霾，是否应该全面禁放烟花爆竹已成为人们议论的一个话题．武汉市环保部门就是否赞成禁放烟花爆竹，对400位老年人和中青年市民进行了随机问卷调查，结果如下表：
赞成禁放
不赞成禁放
合计
老年人
60
140
200
中青年人
80
120
200
合计
140
260
400
附：K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
P（k²＞k₀）
0.050
0.025
0.010
k₀
3.841
5.024
6.635

(1)、有多大的把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关？请说明理由；

(2)、从上述不赞成禁放烟花爆竹的市民中按年龄结构分层抽样出13人，再从这13人中随机的挑选2人，了解他们春节期间在烟花爆竹上消费的情况．假设一位老年人花费500元，一位中青年人花费1000元，用X表示它们在烟花爆竹上消费的总费用，求X的分布列和数学期望．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）过点（ $\sqrt{2}$ ，1），离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，直线l：y=k（x+1）与椭圆C相交于不同的两点A，B．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、在x轴上是否存在点M，使 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ + $\frac{5}{3 k^{2} + 1}$ 是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标，并求出此常数；若不存在，请说明理由．

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21. 已知f（x）=e^x﹣ax² ，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=bx+1．

(1)、求a，b的值；

(2)、求f（x）在[0，1]上的最大值；

(3)、证明：当x＞0时，e^x+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0．

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22. 如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D．

(1)、求证：AT²=BT•AD；

(2)、E、F是BC的三等分点，且DE=DF，求∠A．

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23. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + t \cos α \\ y = t \sin α \end{matrix}$ （t为参数，α为直线的倾斜角）．
（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．

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24. 已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|．

(1)、当a=3时，求不等式f（x）≥2的解集；

(2)、若f（x）≥5﹣x对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

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	赞成禁放	不赞成禁放	合计
老年人	60	140	200
中青年人	80	120	200
合计	140	260	400

P（k²＞k₀）	0.050	0.025	0.010
k₀	3.841	5.024	6.635