2016年河南省高考数学冲刺试卷（理科）（五）

试卷更新日期：2017-01-18 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x²﹣x﹣6≤0}，则A∩（∁_UB）等于（）

A、（1，2） B、（3，4） C、（1，3） D、（1，2）∪（3，4）

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2. 已知z₁=m+i，z₂=1﹣2i，若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为实数，则实数m的值为（）

A、2 B、﹣2 C、 $\frac{1}{2}$ D、﹣ $\frac{1}{2}$

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3. 已知O、A、B、C为同一平面内的四个点，若2 $\vec{A C}$ + $\vec{C B}$ = $\vec{0}$ ，则向量 $\vec{O C}$ 等于（）

A、 $\frac{2}{3} \vec{O A}$ ﹣ $\frac{1}{3}$ $\vec{O B}$ B、﹣ $\frac{1}{3}$ $\vec{O A}$ + $\frac{2}{3}$ $\vec{O B}$ C、2 $\vec{O A}$ ﹣ $\vec{O B}$ D、﹣ $\vec{O A}$ ﹣2 $\vec{O B}$

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4. 已知a，b是实数，则“ ${(\frac{1}{3})}^{a} < {(\frac{1}{3})}^{b}$ ”是“log₃a＞log₃b”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若sin（ $\frac{π}{6}$ ﹣α）= $\frac{1}{3}$ ，则2cos²（ $\frac{π}{6}$ + $\frac{α}{2}$ ）﹣1=（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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6. 设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n₊₁=a_n+n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是（）

A、n＞10 B、n≤10 C、n＜9 D、n≤9

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8. 已知实数a，b满足2^a=3，3^b=2，则函数f（x）=a^x+x﹣b的零点所在的区间是（　　）

A、（﹣2，﹣1） B、（﹣1，0） C、（0，1） D、（1，2）

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9. 已知不等式组 ${\begin{matrix} 0 \leq x \leq 2 \\ x + y - 2 \geq 0 \\ k x - y + 2 \geq 0 \end{matrix}$ 所表示的平面区域的面积为4，则k的值为（）

A、1 B、﹣3 C、1或﹣3 D、0

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10. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）

A、 $\frac{20}{3}$ B、 $\frac{26}{3}$ C、8 D、4

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11. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂离心率为e．过F₂的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F₁AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e²的值是（）

A、1+2 $\sqrt{2}$ B、3+2 $\sqrt{2}$ C、4﹣2 $\sqrt{2}$ D、5﹣2 $\sqrt{2}$

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12. 已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（3^0.3）•f（3^0.3），b=（log_π3）•f（log_π3），c=（log₃ $\frac{1}{9}$ ）•f（log₃ $\frac{1}{9}$ ），则 a，b，c的大小关系是（　　）

A、a＞b＞c B、c＞a＞b C、c＞b＞a D、a＞c＞b

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二、填空题

13. $\int_{0}^{2}$ （2﹣|1﹣x|）dx= ．

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14. 若函数f（x）=e^x﹣2x﹣a在R上有两个零点，则实数a的取值范围是．

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15. 定义运算： $x \nabla y = {\begin{matrix} x (x y \geq 0) \\ y (x y < 0) \end{matrix}$ ，例如：3∇4=3，（﹣2）∇4=4，则函数f（x）=x²∇（2x﹣x²）的最大值为．

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16. 设{a_n}是等比数列，公比 $q = \sqrt{2}$ ，S_n为{a_n}的前n项和．记 $T_{n} = \frac{17 s_{n} - s_{2 n}}{a_{n + 1}} ， n \in N^{*}$ ．设 $T_{n_{0}}$ 为数列{T_n}的最大项，则n₀= ．

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三、解答题

17. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB﹣bcosA= $\frac{3}{5}$ c．
（Ⅰ）求 $\frac{\tan A}{\tan B}$ 的值；
（Ⅱ）若A=60°，求 $\frac{a b \sin C}{a^{2} + b^{2} - c^{2}}$ 的值．

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18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．

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19. 某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；
（Ⅲ）若规定：75（包含75分）分以上为良好，90分（包含90分）以上为优秀，要从分数在良好以上的试卷中任取两份分析学生失分情况，设在抽取的试卷中，分数为优秀的试卷份数为X，求X的概率分布列及数学期望．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点A（2，0），且过点 $(- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（1，0）且斜率为k₁（k₁≠0）的直线l于椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3于M，N两点，线段MN的中点为P，记直线PB的斜率为k₂ ，求证：k₁•k₂为定值．

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21. 设函数f（x）=x﹣alnx+ $\frac{1 - a}{x}$ ．
（Ⅰ）若a＞1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞3，函数g（x）=a²x²+3，若存在x₁ ， x₂∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]，使得|f（x₁）﹣g（x₂）|＜9成立，求a的取值范围．

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22. 如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE、BE，∠APE的平分线与AE、BE分别交于点C、D，其中∠AEB=30°．

(1)、求证： $\frac{E D}{B D} \cdot \frac{P B}{P A} = \frac{P D}{P C}$

(2)、求∠PCE的大小．

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23. 在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（﹣1，0），其倾斜角是α，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程是ρ²=6ρcosθ﹣5．
（Ⅰ）若直线l和曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；
（Ⅱ）设B（x，y）为曲线C任意一点，求 $\sqrt{3} x + y$ 的取值范围．

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24. 设f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|．

(1)、求函数 $g (x) = \sqrt{2 - f (x)}$ 的定义域；

(2)、若存在实数x满足f（x）≤ax﹣1，试求实数a的取值范围．

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