2016年河北省唐山市高考数学三模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-01-18 类型：高考模拟

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一、选择题。

1. 集合A={1，2，3，4}，B={x∈N^*|x²﹣3x﹣4＜0}，则A∪B=（）

A、{1，2，3} B、{1，2，3，4} C、{0，1，2，3，4} D、（﹣1，4]

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2. 以下三个命题中，真命题有（）
①若数据x₁ ， x₂ ， x₃ ， …，x_n的方差为1，则2x₁ ， 2x₂ ， 2x₃ ， …，2x_n的方差为4；
②对分类变量x与y的随机变量K²的观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大；
③已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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3. 若复数z满足2z﹣ $\bar{z}$ = $\frac{2 i - 3}{i}$ （i为虚数单位），则|z|=（）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $\sqrt{13}$ D、13

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4. 圆x²+（y﹣m）²=5与双曲线x²﹣ $\frac{y^{2}}{4}$ =1的渐近线相切，则正实数m=（）

A、5 B、1 C、5 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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5. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |=2| $\vec{b}$ |=2，| $\vec{a}$ ﹣4 $\vec{b}$ |=2 $\sqrt{7}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、﹣1

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6. 执行如图的程序框图，若输出的y值为5，则判断框中可填入的条件是（）

A、i＜3 B、i＜4 C、i＜5 D、i＜6

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7. 等差数列{a_n}的各项均为正值，若a₃+2a₆=6，则a₄a₆的最大值为（）

A、1 B、2 C、4 D、6

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8. 若变量x，y满足 ${\begin{matrix} 2 x + y - 5 \geq 0 \\ x - y + 5 \geq 0 \\ 2 x - y - 5 \leq 0 \end{matrix}$ 则x²+y²的最小值为（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、5

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9. 函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）的图象如图所示，则f（π）=（）

A、 $\sqrt{3}$ B、﹣ $\sqrt{3}$ C、1 D、﹣1

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10. 一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11. 设抛物线C：x²=4y的焦点为F，斜率为k的直线l经过点F，若抛物线C上存在四个点到直线l的距离为2，则k的取值范围是（）

A、（﹣∞，﹣ $\sqrt{3}$ ）∪（ $\sqrt{3}$ ，+∞） B、（﹣ $\sqrt{3}$ ，﹣1）∪（1， $\sqrt{3}$ ） C、（﹣ $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{3}$ ） D、（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

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12. 在数列{a_n}中，a₁=1，且a_na_n₊₁+ $\sqrt{3}$ （a_n﹣a_n₊₁）+1=0，则a₂₀₁₆=（）

A、1 B、﹣1 C、2+ $\sqrt{3}$ D、2﹣ $\sqrt{3}$

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二、填空题.

13. 若函数y=ln（ $\sqrt{1 + a x^{2}}$ ﹣2x）为奇函数，则a= ．

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14. 在六棱锥P﹣ABCDEF中，底面是边长为 $\sqrt{2}$ 的正六边形，PA=2且与底面垂直，则该六棱锥外接球的体积等于．

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15. 若（2+x）（1﹣x）⁶=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷ ，则a₂+a₃= ．

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16. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} 2 x^{3} - a x^{2} - 1 ， x < 0 \\ | x - 3 | + a ， x \geq 0 \end{matrix}$ 恰有两个零点，则a的取值范围是．

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三、解答题。

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\frac{2 a + b}{\cos B}$ = $\frac{- c}{\cos C}$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、求sinAsinB的最大值．

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18. 某3D打印机，其打出的产品质量按照百分制衡量，若得分不低于85分则为合格品，低于85分则为不合格品，商家用该打印机随机打印了15件产品，得分情况如图；

(1)、写出该组数据的中位数和众数，并估计该打印机打出的产品为合格品的概率；

(2)、若打印一件合格品可获利54元，打印一件不合格品则亏损18元，记X为打印3件产品商家所获得的利润，在（1）的前提下，求随机变量X的分布列和数学期望．

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19. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，BC=6，PA=AD=CD=2，E为BC上一点且BE= $\frac{2}{3}$ BC，PB⊥AE．

(1)、求证：AB⊥PE；

(2)、求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

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20. 已知椭圆C的右焦点F（1，0），过F的直线l与椭圆C交于A，B两点，当l垂直于x轴时，|AB|=3．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、在x轴上是否存在点T，使得 $\vec{T A} \cdot \vec{T B}$ 为定值？若存在，求出点T坐标，若不存在，说明理由．

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21. 已知函数f（x）=e^mx﹣lnx﹣2．

(1)、若m=1，证明：存在唯一实数t∈（ $\frac{1}{2}$ ，1），使得f′（t）=0；

(2)、求证：存在0＜m＜1，使得f（x）＞0．

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22. 如图，A、B、C为⊙O上三点，B为 $\hat{A C}$ 的中点，P为AC延长线上一点，PQ与⊙O相切于点Q，BQ与AC相交于点D．
（Ⅰ）证明：△DPQ为等腰三角形；
（Ⅱ）若PC=1，AD=PD，求BD•QD的值．

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23. 在直角坐标系xOy中，M（﹣2，0）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A（ρ，θ）为曲线C上一点，B（ρ，θ+ $\frac{π}{3}$ ），且|BM|=1．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求|OA|²+|MA|²的取值范围．

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24. 已知a＞b＞c＞d＞0，ad=bc．
（Ⅰ）证明：a+d＞b+c；
（Ⅱ）比较a^ab^bc^dd^c与a^bb^ac^cd^d的大小．

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