山东省德州市2018年中考数学试卷

试卷更新日期：2018-06-29 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 3的相反数是（）

A、 3 B、 $\frac{1}{3}$ C、-3 D、 $- \frac{1}{3}$

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2. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.496亿 $k m$ ．用科学记数法表示1.496亿是（）

A、 $1.496 \times 10^{7}$ B、 $14.96 \times 10^{7}$ C、 $0.1496 \times 10^{8}$ D、 $1.496 \times 10^{8}$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ B、 ${(- a^{2})}^{3} = a^{6}$ C、 $a^{7} \div a^{5} = a^{2}$ D、 $- 2 m n - m n = - m n$

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5. 已知一组数据：6，2，8， $x$ ，7，它们的平均数是6．则这组数据的中位数是（）

A、7 B、6 C、5 D、4

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6. 如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中 $∠ a$ 与 $∠ β$ 互余的是（）

A、图① B、图② C、图③ D、图④

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7. 如图，函数 $y = a x^{2} - 2 x + 1$ 和 $y = a x - a$ ( $a$ 是常数，且 $a \neq 0$ )在同一平面直角坐标系的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 分式方程 $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$ 的解为（）

A、 $x = 1$ B、 $x = 2$ C、 $x = - 1$ D、无解

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9. 如图，从一块直径为 $2 m$ 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（）

A、 $\frac{π}{2} m^{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} π m^{2}$ C、 $π m^{2}$ D、 $2 π m^{2}$

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10. 给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= $\frac{3}{x}$ ；③y=2x²；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）

A、①③ B、③④ C、②④ D、②③

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11. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式
${(a + b)}^{n}$ 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算 ${(a + b)}^{8}$ 的展开式中从左起第四项的系数为（）

A、84 B、56 C、35 D、28

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12. 如图，等边三角形 $A B C$ 的边长为4，点 $O$ 是△ $A B C$ 的中心， $∠ F O G = 120^{\circ}$ .绕点 $o$ 旋转 $∠ F O G$ ，分别交线段 $A B 、 B C$ 于D、E两点，连接 $D E$ ，给出下列四个结论：① $O D = O E$ ；② $S_{Δ O D E} = S_{Δ B D E}$ ；③四边形 $O D B E$ 的面积始终等于 $\frac{4}{3} \sqrt{3}$ ；④△ $B D E$ 周长的最小值为6，上述结论中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 计算： $| - 2 + 3 |$ = ．

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14. 若 x₁、x₂是一元二次方程 $x^{2} + x - 2 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2}$ = ．

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15. 如图， $O C$ 为 $∠ A O B$ 的平分线. $C M ⊥ O B$ ， $O C = 5$ . $O M = 4$ .则点 $C$ 到射线 $O A$ 的距离为．

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16. 如图。在 $4 \times 4$ 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点. $Δ A B C$ 的顶点都在格点上，则 $∠ B A C$ 的正弦值是．

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17. 对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b= ${\begin{matrix} \sqrt{a^{2} + b^{2}} ， a \geq b \\ a b ， a < b \end{matrix}$ ，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3= $\sqrt{4^{2} + 3^{2}}$ =5．若x，y满足方程组 ${\begin{matrix} 4 x - y = 8 \\ x + 2 y = 29 \end{matrix}$ ，则x◆y=.

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18. 如图，反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 与一次函数 $y = x - 2$ 在第三象限交于点 $A$ .点 $B$ 的坐标为(一3，0)，点 $P$ 是 $y$ 轴左侧的一点.若以 $A 、 O 、 B 、 P$ 为顶点的四边形为平行四边形.则点 $P$ 的坐标为.

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $\frac{x - 3}{x^{2} - 1} \div \frac{x - 3}{x^{2} + 2 x + 1} - (\frac{1}{x - 1} + 1)$ ，其中 $x$ 是不等式组 ${\begin{matrix} 5 x - 3 > 3 (x + 1) \\ \frac{1}{2} x - 1 < 9 - \frac{3}{2} x \end{matrix}$ 的整数解.

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20. 某学校为了解全校学生对电视节目的喜爱情况(新闻、体育、动画、娱乐、戏曲)，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图.
请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、这次被调查的学生共有多少人?

(2)、请将条形统计图补充完整；

(3)、若该校约有1500名学生，估计全校学生中喜欢娱乐节目的有多少人?

(4)、该校广播站需要广播员，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)

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21. 如图，两座建筑物的水平距离 $B C$ 为 $60 m$ .从 $C$ 点测得 $A$ 点的仰角 $α$ 为53° ，从 $A$ 点测得 $D$ 点的俯角 $β$ 为37° ，求两座建筑物的高度(参考数据： $s i n 37^{\circ} \approx \frac{3}{5} ， c o s 37^{\circ} \approx \frac{4}{5} ， t a n 37^{\circ} \approx \frac{3}{4} ， s i n 53^{\circ} \approx 4 ， c o s 53^{\circ} \approx \frac{3}{5} ， t a n 35^{\circ} \approx \frac{4}{3})$

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22. 如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E．点C是弧BF的中点．

(1)、求证：AD⊥CD；

(2)、若∠CAD=30°．⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--EC--弧CB爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14， $\sqrt{3}$ ≈1.73，结果保留一位小数．)

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23. 为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价 $x$ (单位：万元)成一次函数关系.

(1)、求年销售量 $y$ 与销售单价 $x$ 的函数关系式；

(2)、根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?

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24. 再读教材：
宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ (约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调，匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示； $M N = 2$ )
第一步，在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平.
第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平.
第三步，折出内侧矩形的对角线 $A B$ ，并把 $A B$ 折到图③中所示的 $A D$ 处，
第四步，展平纸片，按照所得的点 $D$ 折出 $D E$ ，使 $D E ⊥ N D$ ，则图④中就会出现黄金矩形，
问题解决：

(1)、图③中 $A B$ =(保留根号)；

(2)、如图③，判断四边形 $B A D Q$ 的形状，并说明理由；

(3)、请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由.

(4)、结合图④.请在矩形 $B C D E$ 中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽.

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25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线 $y = x - 1$ 与抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 交于 $A 、 B$ 两点，其中 $A (m ， 0)$ ， $B (4 ， n)$ .该抛物线与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于另一点 $D$ .

(1)、求 $m 、 n$ 的值及该抛物线的解析式；

(2)、如图2.若点 $P$ 为线段 $A D$ 上的一动点(不与 $A 、 D$ 重合).分别以 $A P$ 、 $D P$ 为斜边，在直线 $A D$ 的同侧作等腰直角△ $A P M$ 和等腰直角△ $D P N$ ，连接 $M N$ ，试确定△ $M P N$ 面积最大时 $P$ 点的坐标.

(3)、如图3.连接 $B D$ 、 $C D$ ，在线段 $C D$ 上是否存在点 $Q$ ，使得以 $A 、 D 、 Q$ 为顶点的三角形与△ $A B D$ 相似，若存在，请直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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