重庆市2018年中考数学试卷（A卷）

试卷更新日期：2018-06-26 类型：中考真卷

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一、选择题

1. $2$ 的相反数是（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $2$

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2. 下列图形中一定是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 为调查某大型企业员工对企业的满意程度，以下样本最具代表性的是（）

A、企业男员工 B、企业年满50岁及以上的员工 C、用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工 D、企业新进员工

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4. 把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（）

A、12 B、14 C、16 D、18

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5. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 $5 c m$ ， $6 c m$ 和 $9 c m$ ，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为（）

A、3cm B、4cm C、4.5cm D、5cm

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6. 下列命题正确的是（）

A、平行四边形的对角线互相垂直平分 B、矩形的对角线互相垂直平分 C、菱形的对角线互相平分且相等 D、正方形的对角线互相垂直平分

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7. 估计 $(2 \sqrt{30} - \sqrt{24}) \cdot \sqrt{\frac{1}{6}}$ 的值应在（）

A、1和2之间 B、2和3之间 C、3和4之间 D、4和5之间

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8. 按如图所示的运算程序，能使输出的结果为 $12$ 的是（）

A、 $x = 3 ， y = 3$ B、 $x = - 4 ， y = - 2$ C、 $x = 2 ， y = 4$ D、 $x = 4 ， y = 2$

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9. 如图，已知AB是 $⊙ O$ 的直径，点P在BA的延长线上，PD与 $⊙ O$ 相切于点D ，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C ，若 $⊙ O$ 的半径为4， $B C = 6$ ，则PA的长为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、2.5

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10. 如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角 $∠ A E D = 58 °$ ，升旗台底部到教学楼底部的距离 $D E = 7$ 米，升旗台坡面CD的坡度 $i = 1 ： 0.75$ ，坡长 $C D = 2$ 米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离 $B C = 1$ 米，则旗杆AB的高度约为（）
（参考数据： $sin 58 ° \approx 0.85$ ， $cos 58 ° \approx 0.53$ ， $tan 58 ° \approx 1.6$ ）

A、12.6米 B、13.1米 C、14.7米 D、16.3米

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11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A ， B在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ， $x > 0$ ）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线 $B D ∥ x$ 轴．若菱形ABCD的面积为 $\frac{45}{2}$ ，则k的值为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、4 D、5

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12. 若数 $a$ 使关于x的不等式组 ${\begin{matrix} \frac{x - 1}{2} < \frac{1 + x}{3} \\ 5 x - 2 \geq x + a \end{matrix}$ 有且只有四个整数解，且使关于y的方程 $\frac{y + a}{y - 1} + \frac{2 a}{1 - y} = 2$ 的解为非负数，则符合条件的所有整数 $a$ 的和为（）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、1 D、2

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二、填空题

13. 计算： $| - 2 | + {(π - 3)}^{0} =$ ．

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14. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 3$ ， $A D = 2$ ，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E ，图中阴影部分的面积是（结果保留 $π$ ）．

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15. 春节期间，重庆某著名旅游景点成为热门景点，大量游客慕名前往，市旅游局统计了春节期间5天的游客数量，绘制了如图所示的折线统计图，则这五天游客数量的中位数为.

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16. 如图，把三角形纸片折叠，使点 $B$ 、点 $C$ 都与点 $A$ 重合，折痕分别为 $D E$ ， $F G$ ，得到 $∠ A G E = 30 °$ ，若 $A E = E G = 2 \sqrt{3}$ 厘米，则 $△ A B C$ 的边 $B C$ 的长为厘米.

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17. $A ， B$ 两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从 $A$ 地出发到 $B$ 地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发.途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达 $B$ 地.甲、乙两车相距的路程 $y$ （千米）与甲车行驶时间 $x$ （小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距 $B$ 地还有千米.

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18. 为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮.其中，甲种粗粮每袋装有3千克 $A$ 粗粮，1千克 $B$ 粗粮，1千克 $C$ 粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克 $A$ 粗粮，2千克 $B$ 粗粮，2千克 $C$ 粗粮.甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中 $A ， B ， C$ 三种粗粮的成本价之和.已知 $A$ 粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%.若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是.
（ $商品的利润率 = \frac{商品的售价 - 商品的成本价}{商品的成本价} \times 100 %$ ）

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三、解答题

19. 如图，直线AB//CD ， BC平分∠ABD ， ∠1=54°，求∠2的度数.

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20. 某初中学校举行毛笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题：

(1)、请将条形统计图补全；

(2)、获得一等奖的同学中有 $\frac{1}{4}$ 来自七年级，有 $\frac{1}{4}$ 来自八年级，其他同学均来自九年级，现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内毛笔书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率.

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21. 计算：

(1)、 $a (a + 2 b) - (a + b) (a - b)$

(2)、 $(\frac{x + 2}{x - 3} + x + 2) \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x - 3}$

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22. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - x + 3$ 过点 $A (5 ， m)$ 且与 $y$ 轴交于点 $B$ ，把点 $A$ 向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点 $C$ .过点 $C$ 且与 $y = 2 x$ 平行的直线交 $y$ 轴于点 $D$ .

(1)、求直线 $C D$ 的解析式；

(2)、直线 $A B$ 与 $C D$ 交于点 $E$ ，将直线 $C D$ 沿 $E B$ 方向平移，平移到经过点 $B$ 的位置结束，求直线 $C D$ 在平移过程中与 $x$ 轴交点的横坐标的取值范围.

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23. 在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.

(1)、原计划是今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化和里程数至少是多少千米？

(2)、到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1 ： 2，且里程数之比为2 ： 1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入.经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%（a>0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值.

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24. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $O$ 是对角线 $A C$ 的中点，点 $E$ 是 $B C$ 上一点，且 $A B = A E$ ，连接 $E O$ 并延长交 $A D$ 于点 $F$ ，过点 $B$ 作 $A E$ 的垂线，垂足为 $H$ ，交 $A C$ 于点 $G$ .

(1)、若 $A H = 3$ ， $H E = 1$ ，求 $△ A B E$ 的面积；

(2)、若 $∠ A C B = 45^{°}$ ，求证： $D F = \sqrt{2} C G$ .

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25. 对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”.

(1)、请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；

(2)、如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数，若四位数m为“极数”，记D（m）= $\frac{m}{33}$ .求满足D（m）是完全平方数的所有m.

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26. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 在抛物线 $y =$ ${-x}^{2} + 4 x$ 上，且横坐标为1，点 $B$ 与点 $A$ 关于抛物线的对称轴对称，直线 $A B$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 为抛物线的顶点，点 $E$ 的坐标为 $(1 ， 1)$

(1)、求线段 $A B$ 的长；

(2)、点 $P$ 为线段 $A B$ 上方抛物线上的任意一点，过点 $P$ 作 $A B$ 的垂线交 $A B$ 于点 $H$ ，点 $F$ 为 $y$ 轴上一点，当 $△ P B E$ 的面积最大时，求 $PH + HF + \frac{1}{2} F O$ 的最小值；

(3)、在（2）中， $PH + HF + \frac{1}{2} F O$ 取得最小值时，将 $△ C F H$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $60 °$ 后得到 $△ C F' H'$ ，过点 $F'$ 作 $C F'$ 的垂线与直线 $A B$ 交于点 $Q$ ，点 $R$ 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 $S$ ，使得点 $D ， Q ， R ， S$ 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 $S$ 的坐标，若不存在，请说明理由.

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