河南省豫南九校2017-2018学年下学期理数高二第二次联考试卷

试卷更新日期：2018-06-26 类型：期中考试

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一、单选题

1. 复数 $z = \frac{2 - i}{1 + 3 i}$ （ $i$ 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 抛物线y²=4x的焦点坐标是（）

A、（0，2） B、（0，1） C、（2，0） D、（1，0）

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3. 下列说法正确的是（）

A、命题“若 $x^{3} - 3 x + 2 = 0$ ，则 $x = 1$ ”的否命题是“若 $x^{3} - 3 x + 2 = 0$ ，则 $x \neq 1$ ” B、若 $a \in R$ ，则“ $\frac{1}{a} < 1$ ”是“ $a > 1$ ”的必要不充分条件 C、函数 $y = \sqrt{x^{2} + 9} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}} (x \in R)$ 的最小值为 $2$ D、命题“ $\exists n \in N$ ， $n^{2} > 2^{n}$ ”的否定是“ $\forall n \in N$ ， $n^{2} < 2^{n}$ ”

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4. 已知函数 $f (x) = ln x + 2 x^{2} - 4 x$ ，则函数 $f (x)$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线方程为（）

A、 $x - y + 3 = 0$ B、 $x + y - 3 = 0$ C、 $x - y - 3 = 0$ D、 $x + y + 3 = 0$

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5. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 a x$ 在 $(1 ， 3)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1]$ D、 $(- \infty ， - 1)$

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6. 甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否去过 $B$ 市时，甲说：我没去过，乙说：丙去过，丙说：丁去过，丁说：我没去过。在以上的回答中只有一人回答正确，且只有一人去过 $B$ 市.根据以上条件，可以判断去过 $B$ 市的人是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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7. 用数学归纳法证明不等式“ $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{2 n} > \frac{13}{24} (n > 2)$ ”时的过程中，由 $n = k$ 到 $n = k + 1$ ，不等式的左边增加的项为（）

A、 $\frac{1}{2 (k + 1)}$ B、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 (k + 1)}$ C、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 (k + 1)} - \frac{1}{k + 1}$ D、 $\frac{1}{2 (k + 1)} - \frac{1}{k + 1}$

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8. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{1010} = 5$ ， $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{2019} = 5 \times 2019$ .若 ${b_{n}}$ 为等比数列， $b_{1010} = 5$ ，则 ${b_{n}}$ 类似的结论是（）

A、 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{2019} = 5 \times 2019$ B、 $b_{1} b_{2} b_{3} \dots b_{2019} = 5 \times 2019$ C、 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{2019} = 5^{2019}$ D、 $b_{1} b_{2} b_{3} \dots b_{2019} = 5^{2019}$

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9. 将标号分别为 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ 的 $5$ 个小球放入 $3$ 个不同的盒子中，每个盒子至少放一球，则不同的方法种数为（）

A、 $150$ B、 $180$ C、 $240$ D、 $540$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为 $2$ 的等比数列，满足 $a_{6} = a_{2} \cdot a_{10}$ .设等差数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $b_{9} = 2 a_{7}$ ，则 $S_{17} =$ （）

A、 $34$ B、 $39$ C、 $51$ D、 $68$

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的交点为 $A ， B$ ， $A ， B$ 连线经过抛物线的焦点 $F$ ，且线段 $A B$ 的长度等于椭圆的短轴长，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. 已知函数 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数， $f (1) = \frac{1}{2 e}$ （其中 $e$ 为自然对数的底数），对任意实数 $x$ ，都有 $f (x) - f^{'} (x) > 0$ ，则不等式 $2 f (x) < e^{x - 2}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， e)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(1 ， e)$ D、 $(e ， + \infty)$

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二、填空题

13. 设复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 4 - 3 i^{3}$ ，则 $| z | =$ ．

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14. 计算 $\int \begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix} \sqrt{4 - x^{2}} d x =$ ．

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15. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点， $P$ 为双曲线 $C$ 上一点，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，若 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $9$ ，则 $b =$ ．

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16. 若 $f (n)$ 为 $n^{2} + 1 (n \in N^{*})$ 的各位数字之和，如 $14^{2} + 1 = 197$ ， $1 + 9 + 7 = 17$ ，则 $f (14) = 17$ .记 $f_{1} (n) = f (n)$ ， $f_{2} (n) = f (f_{1} (n))$ ， $f_{3} (n) = f (f_{2} (n))$ ，……， $f_{k + 1} (n) = f (f_{k} (n))$ ， $k \in N^{*}$ ，则 $f_{2018} (9) =$ ．

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三、解答题

17. 已知 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中各项的二项式系数之和为 $32$ .

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中 $x^{2}$ 项的系数；

(3)、求 $(x - \frac{1}{\sqrt{x}}) {(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式中的常数项.

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18. 已知 $Δ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{b}{a + c} = 1 - \frac{sin A}{sin C + sin B}$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $S_{Δ A B C} = 2 \sqrt{3}$ ， $a + b = 6$ ，求 $c$ .

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19. 设命题 $p ：$ 实数 $x$ 满足 $x^{2} - 2 a x - 3 a^{2} < 0 (a > 0)$ ，命题 $q ：$ 实数 $x$ 满足 $\frac{2 - x}{x - 4} \geq 0$ .

(1)、若 $a = 1$ ， $p \land q$ 为真命题，求 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $\neg p$ 是 $\neg q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 如图，在多面体 $A B D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A D D_{1} A_{1}$ ， $A B B_{1} A_{1}$ 均为正方形，点 $M$ 是 $B D$ 的中点，点 $H$ 在 $C_{1} M$ 上，且 $A_{1} H$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

(1)、证明： $B_{1} D_{1} / /$ 平面 $B C_{1} D$ ；

(2)、求二面角 $A - A_{1} H - B$ 的大小.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $F_{1} (- \sqrt{6} ， 0)$ ，且过点 $T (\sqrt{6} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l ： y = k x - 1$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $Δ A O B$ （ $O$ 为坐标原点）的面积 $S$ 取最大值时直线 $l$ 的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = ln x + a x + 1 (x > 0 ， a \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若函数 $g (x) = e^{x} + x^{2} + 1$ （其中 $e$ 为自然对数的底数），且对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ 总有 $f (x) \leq g (x)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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