安徽省“皖南八校”2018届高三文数第三次联考试卷

试卷更新日期：2018-06-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} 〉 1} ， B = {y | y = - x^{2} + 2}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 $(1 ， 2]$ B、 $(- \infty ， 2]$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup^{} (1 ， 2]$ D、 $(- \infty ， - 1]$

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2. 已知复数 $z = \frac{\sqrt{3} + i}{{(1 - \sqrt{3} i)}^{2}}$ ， $\bar{z}$ 是z的共轭复数，则 $z • \bar{z}$ =（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 1$ ，前5项和 $S_{5} = - 15$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{5}{2}$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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4. 已知 $x = ln π$ ， $y = {log}_{5} 2$ ， $z = e^{- \frac{1}{2}}$ ，则（）

A、 $x < y < z$ B、 $z < x < y$ C、 $z < y < x$ D、 $y < z < x$

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5. 定义某种运算 $\otimes ： S = m \otimes n$ 的运算原理如右边的流程图所示，则 $6 \otimes 5 - 4 \otimes 7 =$ （）

A、 $3$ B、 $1$ C、 $4$ D、 $0$

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6. 中国古代数学家名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体，其三视图如图所示，则其外接球的表面积为（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $4 π$ C、 $8 π$ D、 $64 π$

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7. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ x + 2 y - 2 \geq 0 \\ 4 x - y - 8 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = | x + 3 y |$ 的最大值为（）

A、 $15$ B、 $13$ C、 $3$ D、 $2$

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8. 将函数 $f (x) = 4 cos (x + \frac{π}{3}) + 1$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变）再把图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则函数 $y = g (x)$ 图象的一个对称中心为（）

A、 $(\frac{11 π}{12} ， - 1)$ B、 $(\frac{11 π}{12} ， 1)$ C、 $(\frac{7 π}{12} ， - 1)$ D、 $(\frac{7 π}{12} ， 1)$

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9. 2018年行平昌冬季奥运会与2月9~2月25日举行，为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例P，某学生设计了如下的计算机模拟，通过计算机模拟项长为8，宽为5的长方形内随机取了N个点，经统计落入五环及其内部的点数为 $n$ 个，圆环半径为1，则比值 $P$ 的近似值为（）

A、 $\frac{32 n}{5 π N}$ B、 $\frac{32 n}{π N}$ C、 $\frac{8 n}{π N}$ D、 $\frac{5 π n}{32 N}$

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10. 函数 $y = sin x + \frac{1}{x}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线左右两支分别交于 $A ， B$ 两点，若 $Δ A B F_{2}$ 是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $\sqrt{15}$

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12. 已知 $a \in R$ ，若 $f (x) = (x + \frac{a}{x}) e^{x}$ 在区间（0，1）上有且只有一个极值点，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a > 0$ B、 $a \leq 1$ C、 $a > 1$ D、 $a \leq 0$

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二、填空题

13. 已知向量 $| \overset{⇀}{a} | = | \overset{⇀}{b} | = 1 ， \overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 夹角为 $45^{0}$ ，则 $(\overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b}) \cdot \overset{⇀}{a} =$ ．

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14. 若过点 $(2 ， 0)$ 有两条直线与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y + m + 1 = 0$ 相切，则实数 $m$ 的取值范围是．

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15. 如图1所示是一种生活中常见的容器，其结构如图2，其中 $A B C D$ 是矩形， $A B F E$ 和 $C D E F$ 都是等腰梯形，且 $A D ⊥$ 平面 $C D E F$ ，现测得 $A B = 20 c m ， A D = 15 c m ， E F = 30 c m$ ， $A B$ 与 $E F$ 间的距离为 $25 c m$ ，则几何体 $E F - A B C D$ 的体积为 $c m^{3}$ ．

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16. 已知数列的前 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = 2^{n + 1} ， b_{n} = {log}_{2} (a_{n}^{2} \cdot 2^{a_{n}})$ ，数列的 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则满足 $T_{n} > 1024$ 的最小 $n$ 的值为．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， a = b (sin C + cos C)$ 。

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a = 1 ， b = \sqrt{2}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积。

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18. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ A B C = 60^{0} ， P A ⊥$ 平面 $A B C D ， A B = 2 ， P A = 2$ ，点 $F$ 为 $P C$ 的中点。

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $B D F$ ；

(2)、求三棱锥 $P - B D F$ 的体积。

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19. 2017年，在青岛海水稻研究发展宗鑫的试验基地，我国奇数团队培养处的最新一批海水稻活动丰收，由原亩产300公斤，条到最高620公斤，弦长测得其海水盐分浓度月为 $6 %$ 。

(1)、对 $A ， B ， C ， D$ 四种品种水稻随机抽取部分数据，获得如下频率分布直方图，根据直方图，说明这四种品种水稻中，哪一种平均产量最高，哪一种稳定（给出判断即可，不必说明理由）；

(2)、对盐碱度与抗病害的情况差得如右图和 $2 \times 2$ 的列联表的部分数据，填写列表，并以此说明是否有 $90 %$ 的把握说明盐碱度对抗病虫害有影响。
附表及公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

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20. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $e = \frac{1}{2}$ ，椭圆 $C$ 上一点 $M$ 到左右两个焦点 $F_{1} ， F_{2}$ 的距离之和是4.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、已知过 $F_{2}$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，且两点与左右顶点不重合，若 $\overset{⇀}{F_{1} M} = \overset{⇀}{F_{1} A} + \overset{⇀}{F_{1} B}$ ，求四边形 $A M B F_{1}$ 面积的最大值。

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + x - a ln x (a \in R) ， g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{1}{2}$ 。

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在点 $(1 ， 2)$ 处的切线互相垂直，求 $a$ 值；

(2)、讨论函数 $y = f (x) - g (x) + \frac{1}{2}$ 的零点个数。

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + 2 c o s α \\ y = 2 s i n α \end{matrix} (α$ 为参数），以 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 $ρ (sin θ + \sqrt{3} cos θ) = \sqrt{3}$ 。

(1)、求 $C$ 的极坐标方程；

(2)、射线 $O M ： θ = θ_{1} (\frac{π}{6} \leq θ_{1} \leq \frac{π}{3})$ 与圆 $C$ 的交点为 $O ， P$ 与直线 $l$ 的交点为 $Q$ ，求 $| O P | \cdot | O Q |$ 的范围。

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23. 已知 $f (x) = 2 | x - 2 | + | x + 1 |$ 。

(1)、求不等式 $f (x) < 6$ 的解集；

(2)、设 $m ， n ， p$ 为正实数，且 $m + n + p = f (2)$ ，求证： $m n + n p + p m \leq 3$ .

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