湖南省益阳市2018届高三文数4月调研考试试卷

试卷更新日期：2018-06-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x \geq 1}$ ， $B = {x | 2 - x \leq 0}$ ，则 $A \cap^{} ∁_{U} B =$ （）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $[1 ， 2]$

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2. 设 $i$ 是虚数单位， $\bar{z}$ 表示复数 $z$ 的共轭复数.若 $\bar{z} = \frac{4 - 5 i}{i}$ ，则 $(3 - i) z =$ （）

A、 $11 + 17 i$ B、 $11 - 17 i$ C、 $- 11 + 17 i$ D、 $- 11 - 17 i$

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3. 已知命题 $p ：$ “ $\forall a \geq 0$ ， $a^{4} + a^{2} \geq 0$ ”，则命题 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall a \geq 0 ， a^{4} + a^{2} < 0$ B、 $\forall a \geq 0 ， a^{4} + a^{2} \leq 0$ C、 $\exists a_{0} < 0 ， a_{0}^{4} + a_{0}^{2} < 0$ D、 $\exists a_{0} \geq 0 ， a_{0}^{4} + a_{0}^{2} < 0$

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4. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (4 ， - 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (2 ， m)$ ，且 $\overset{⇀}{a} / / (\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b})$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $- 2$

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5. 如图所示的程序框图，若输出的 $y = - 6$ ，则输入的 $x$ 值为（）

A、 $- \frac{9}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{9}{2}$ 或 $\frac{1}{2}$

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6. 现有 $6$ 张牌面分别是 $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ ， $7$ 的扑克牌，从中取出 $1$ 张，记下牌面上的数字后放回，再取一张记下牌面上的数字，则两次所记数字之和能整除 $18$ 的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 已知一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）

A、 $8 + \frac{4 \sqrt{7}}{3}$ B、 $8 + \frac{8 \sqrt{2}}{3}$ C、 $8 + \frac{16 \sqrt{2}}{3}$ D、 $8 + 8 \sqrt{2}$

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8. 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是 $m$ ，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么，试问，侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设侏罗纪蜘蛛网的长度为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $S_{n}$ 无限大 B、 $S_{n} < 3 (3 + \sqrt{5}) m$ C、 $S_{n} = 3 (3 + \sqrt{5}) m$ D、 $S_{n}$ 可以取 $100 m$

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9. 将函数 $f (x) = cos (2 x + θ) (| θ | < \frac{π}{2})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称，则 $θ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{12}$ C、 $- \frac{π}{6}$ D、 $- \frac{π}{12}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = 5$ ， $C = 60^{\circ}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $5 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、 $8 + \sqrt{21}$ B、 $9 + \sqrt{21}$ C、 $10 + \sqrt{21}$ D、 $14$

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11. 设双曲线 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点 $F (- c ， 0)$ ，直线 $3 x - y + 3 c = 0$ 与双曲线 $Γ$ 在第二象限交于点 $A$ ，若 $| O A | = | O F |$ （ $O$ 为坐标原点），则双曲线 $Γ$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{10}}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} (a - 1) e^{x} - x ， x \geq 0 ， \\ 2 x^{2} + 4 x - a ， x < 0 ， \end{matrix}$ 其中 $e$ 为自然对数的底数.若函数 $f (x)$ 有三个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， 1 + \frac{1}{e}) \cup^{} (- 2 ， 0)$ B、 $(1 ， 1 + \frac{1}{e})$ C、 $(- 2 ， 1 + \frac{1}{e})$ D、 $(- 2 ， 1)$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{1 + a \cdot 2^{x}} (a \in R)$ 的图象关于点 $(0 ， \frac{1}{2})$ 对称，则 $a =$ ．

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14. 已知 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 4 \geq 0 ， \\ x - 2 \leq 0 ， \\ x + y - 2 \geq 0 ， \end{matrix}$ 则 $z = x + 3 y$ 的最小值为．

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15. 已知斜率为 $1$ ，且在 $y$ 轴上的截距 $b$ 为正的直线 $l$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，若 $△ A O B$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $b =$ ．

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16. 分别在曲线 $y = ln x$ 与直线 $y = 2 x + 6$ 上各取一点 $M$ 与 $N$ ，则 $| M N |$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，且方程 $a_{1} x^{2} - d x - 3 = 0$ 的两个根分别为 $- 1$ ， $3$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 2^{a_{n}} + 2 a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 在三棱锥 $P - A B E$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B E$ ， $A B ⊥ A E$ ， $A B = A P = \frac{1}{2} A E = 2$ ， $D$ 是 $A E$ 的中点， $C$ 是线段 $B E$ 上的一点，且 $A C = \sqrt{5}$ ，连接 $P C$ ， $P D$ ， $C D$ .

(1)、求证： $C D / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求点 $E$ 到平面 $P C D$ 的距离.

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19. 某校高一年级共有 $1000$ 名学生，其中男生 $400$ 名，女生 $600$ 名，该校组织了一次口语模拟考试（满分为 $100$ 分）.为研究这次口语考试成绩为高分是否与性别有关，现按性别采用分层抽样抽取 $100$ 名学生的成绩，按从低到高分成 $[30 ， 40)$ ， $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 七组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知 $[40 ， 50)$ 的频率等于 $[80 ， 90)$ 的频率， $[80 ， 90)$ 的频率与 $[90 ， 100]$ 的频率之比为 $3 ： 2$ ，成绩高于 $80$ 分的为“高分”.

(1)、估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的人数；

(2)、请你根据已知条件将下列 $2 \times 2$ 列联表补充完整，并判断是否有 $99.9 %$ 的把握认为“该校高一年级学生在本次口语考试中成绩及格（ $60$ 分以上（含 $60$ 分）为及格）与性别有关”？

口语成绩及格
口语成绩不及格
合计
男生
$a = 18$
$b =$

女生
$c =$
$d =$

合计

$n = 100$
附临界值表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

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20. 已知抛物线 $C_{1}$ 的方程为 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ，过点 $M (a ， - 2 p)$ （ $a$ 为常数）作抛物线 $C_{1}$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ .

(1)、过焦点且在 $x$ 轴上截距为 $2$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C_{1}$ 交于 $Q$ ， $N$ 两点， $Q$ ， $N$ 两点在 $x$ 轴上的射影分别为 $Q^{'}$ ， $N^{'}$ ，且 $| Q^{'} N^{'} | = 2 \sqrt{5}$ ，求抛物线 $C_{1}$ 的方程；

(2)、设直线 $A M$ ， $B M$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .求证： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值.

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21. 已知函数 $f (x) = (2 e + 1) ln x - \frac{3 a}{2} x + 1$ （ $a \in R$ ， $e$ 为自然对数的底数）.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a = \frac{2}{3}$ 时， $x e^{x} + m \geq f (x)$ 恒成立，求实数 $m$ 的最小值.

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程是 ${\begin{matrix} x = 2 + 4 t ， \\ y = 1 - t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）.以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆 $C$ 以极坐标系中的点 $(2 ， \frac{π}{3})$ 为圆心， $3$ 为半径.

(1)、求圆 $C$ 的极坐标方程；

(2)、判断直线 $l$ 与圆 $C$ 之间的位置关系.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | x - 2 |$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，解不等式 $f (x) \leq 3$ ；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq | x - 3 |$ 在 $R$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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	口语成绩及格	口语成绩不及格	合计
男生	$a = 18$	$b =$
女生	$c =$	$d =$
合计			$n = 100$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828