浙江省杭州市2018届高三数学第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2018-06-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > 1}$ ， $B = {x | x < 2}$ ，则 $A \cap^{} B$ =（）

A、 ${x | 1 < x < 2 |}$ B、 ${x | x > 1 |}$ C、 ${x | x > 2 |}$ D、 ${x | x \geq 1 |}$

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2. 设 $a \in R$ ，若 $（ 1 + 3 i) (1 + a i) \in R$ ( $i$ 是虚数单位)，则 $a$ =( ）

A、3 B、-3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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3. 二项式 $（ 2 x - \frac{1}{x})^{5}$ 的展开式中含 $x^{3}$ 项的系数是( ）

A、80 B、48 C、-40 D、-80

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4. 设圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 与^圆 $C_{2} ：（ x - 2 ）^{2} + （ y + 2)^{2} = 1$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系是（）

A、外离 B、外切 C、相交 D、内含

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5. 若实数 $x ， y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} 2 x + 3 y - 9 \geq 0 \\ x - 2 y - 1 \leq 0 \end{matrix}$ ，设 $z = x + 2 y$ ，则( ）

A、 $z \leq 0$ B、 $0 \leq z \leq 5$ C、 $3 \leq z \leq 5$ D、 $z \geq 5$

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6. 设 $a > b > 0$ ， $e$ 为自然对数的底数.若 $a^{b} = b^{a}$ ，则（）

A、 $a b = e^{2}$ B、 $a b = \frac{1}{e^{2}}$ C、 $a b > e^{2}$ D、 $a b < e^{2}$

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7. 已知 $0 < a < \frac{1}{4}$ 随机变量 $ξ$ 的分布列如下：
$ξ$
-1
0
1
$P$
$\frac{3}{4}$
$\frac{1}{4} - a$
$a$
当 $a$ 增大时（）

A、 $E (ξ)$ 增大， $D (ξ)$ 增大 B、 $E (ξ)$ 减小， $D （ ξ ）$ 增大 C、 $E (ξ)$ 增大， $D (ξ)$ 减小 D、 $E (ξ)$ 减小， $E (ξ)$ 减小

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8. 已知 a＞0 且 a≠1，则函数 f (x)＝(x－a)²lnx（）

A、有极大值，无极小值 B、有极小值，无极大值 C、既有极大值，又有极小值 D、既无极大值，又无极小值

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9. 记 $M$ 的最大值和最小值分別为 $M_{max}$ 和 $M_{min}$ .若平面向量 $a . b . c$ 满足 $| a | = | b | = a • b = c$ $• (a + 2 b - 2 c) = 2$ 则（）

A、 ${| a - c |}_{max} = \frac{\sqrt{3 +} \sqrt{7}}{2}$ B、 ${| a + c |}_{max} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{7}}{2}$ C、 ${| a - c |}_{min} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2}$ D、 ${| a + c |}_{min} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{7}}{2}$

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二、填空题

10. 双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的渐近线方程是，离心率是.

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11. 设各项均为正数的等比数列 $| a_{n} |$ 中，若 $S_{4} = 80$ ， $S_{2} = 8$ 则公比 $q$ =

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12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是，表面积是．

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13. 设 $Δ A B C$ 内切圆与外接圆的半径分别为 $r$ 与 $R$ .且 $sin A ： sin B ： sin C = 2 ： 3 ： 4$ 则 $cos C$ =；当 $B C = 1$ 时， $Δ A B C$ 的面积等于．

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14. 盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有种不同的取法（用数字作答）．

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15. 设函数 $f (x) (x \in R)$ 满足 $| f (x) - x^{2} | \leq \frac{1}{4} ， | f (x) + 1 - x^{2} | \leq \frac{3}{4}$ 则 $f (1)$ = ．

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16. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A . B . C$ 所对的边分别为 $a . b . c$ 若对任意 $λ \in R$ ，不等式 $| λ \overset{⇀}{B C} - \overset{⇀}{B A} | \geq \overset{⇀}{| B C |}$ 恒成立，则 $\frac{c}{b} + \frac{b}{c}$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 已知三棱锥 $S - A B C$ 的底面 $A B C$ 为正三角形， $S A < S B < S C$ ，平面 $S B C ， S C A ， S A B$ 与平面 $A B C$ 所成的锐二面角分别为 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ ，则（）

A、 $a_{1} < a_{2}$ B、 $a_{1} > a_{2}$ C、 $a_{2} < a_{3}$ D、 $a_{2} > a_{3}$

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18. 已知函数 $f (x) = sin (x + \frac{7 π}{4}) + cos (x - \frac{3 π}{4})$
(Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期和最大值；
(Ⅱ)求函数 $y = f (- x)$ 的单调减区间.

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19. 如图，在等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ A = 120^{\circ}$ ，M为线段 $B C$ 的中点， $D$ 为线段 $B C$ 上一点，且 $B D = B A$ ，沿直线 $A D$ 将 $Δ A D C$ 翻折至 $Δ A D C'$ ，使 $A C' ⊥ B D$ .
(I)证明；平面 $A M C'$ ⊥平面 $A B D$ ；
(Ⅱ)求直线 $C' D$ 与平面 $A B D$ 所成的角的正弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1 n x}{x^{2} + x}$
(I)求函数 $f (x)$ 的导函数 $f' (x)$ ；
(Ⅱ)证明： $f (x) < \frac{1}{2 e + \sqrt{e}}$ ( $e$ 为自然对数的底数)

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21. 如图，抛物线 $M ： y = x^{2}$ 上一点 $A$ (点 $A$ 不与原点 $O$ 重合)作抛物线 $M$ 的切线 $A B$ 交 $y$ 轴于点 $B$ ，点 $C$ 是抛物线 $M$ 上异于点 $A$ 的点，设 $G$ 为 $Δ A B C$ 的重心(三条中线的交点)，直线 $C G$ 交 $y$ 轴于点 $D$ .
(Ⅰ)设点 $A (x_{0} ， x \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}) (x 0 \neq 0)$ 求直线 $A B$ 的方程：
(Ⅱ)求 $\frac{| O B |}{| O D |}$ 的值

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = a_{n} + \frac{c}{a_{n}} (c > 0 ， n \in N^{*})$
(Ⅰ)证明： $a_{n + 1} > a_{n} \geq 1$ ；
(Ⅱ)若对于任意 $m \in N^{*}$ ，当 $n \geq m$ 时， $a_{n} \leq {\frac{c}{a m}}_{} (n - m) + a_{m}$ ；
(Ⅲ) $a_{n} \leq \frac{\sqrt{5 n - 1}}{2}$

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$ξ$	-1	0	1
$P$	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4} - a$	$a$