延安市2018届高三文数高考模拟试卷

试卷更新日期：2018-06-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 3 + i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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2. 全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $A = {- 2 ， 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 1 = 0}$ ，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、 ${- 1 ， 1}$ D、 ${0}$

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3. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = 2 n - 1 (n \in N_{+})$ ，则 $a_{2018}$ 的值为（）

A、2 B、3 C、2018 D、3033

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4. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $x - 2 y + 1 = 0$ ，则 $f (1) + 2 f' (1)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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5. 已知 $sin (\frac{π}{2} + θ) + 3 cos (π - θ) = sin (- θ)$ ，则 $sin θ cos θ + {cos}^{2} θ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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6. 已知点 $Q (2 ， 0)$ ，点 $P (x ， y)$ 的坐标满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 1 \leq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ y + 1 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $5$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{5}$ 成等比数列，则 $S_{6} =$ （）．

A、 $80$ B、 $85$ C、 $90$ D、 $95$

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8. 在 $Δ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上，且 $\overset{⇀}{B D} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{D A}$ ，设 $\overset{⇀}{C B} = a$ ， $\overset{⇀}{C A} = b$ ，则 $\overset{⇀}{C D}$ 为（）

A、 $\frac{1}{3} a + \frac{2}{3} b$ B、 $\frac{2}{3} a + \frac{1}{3} b$ C、 $\frac{3}{5} a + \frac{4}{5} b$ D、 $\frac{4}{5} a + \frac{3}{5} b$

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9. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

A、9 B、 $\frac{27}{2}$ C、18 D、27

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10. 元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的 $x = 0$ ，则一开始输入的 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{15}{16}$ D、 $\frac{31}{32}$

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11. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且满足 $f (x + 1) = f (1 - x)$ ，若当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = sin \frac{π}{2} x$ ，则函数 $g (x) = f (x) - e^{- | x |}$ 在区间 $[- 2018 ， 2018]$ 上零点的个数为（）

A、2017 B、2018 C、4034 D、4036

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12. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 相切于点 $M$ ，且 $| M F_{2} | = 3 | M F_{1} |$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、3 D、 $\sqrt{3}$

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二、填空题

13. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $M (1 ， m)$ 到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为．

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14. 某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} l n x ， x \geq 1 \\ e^{x} - 1 ， x < 1 \end{matrix}$ ，若 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $m + n = f (f (2))$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n}$ 的最小值为．

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16. 某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：
1
2
3
4
5
得分
甲
$C$
$C$
$A$
$B$
$B$
4
乙
$C$
$C$
$B$
$B$
$C$
3
丙
$B$
$C$
$C$
$B$
$B$
2
则甲同学答错的题目的题号是．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $(2 b - c) cos A = a cos C$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{13}$ ， $b + c = 5$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量（单位：克）分别在 $[100 ， 150)$ ， $[150 ， 200)$ ， $[200 ， 250)$ ， $[250 ， 300)$ ， $[300 ， 350)$ ， $[350 ， 400]$ 中，经统计得频率分布直方图如图所示.

(1)、现按分层抽样从质量为 $[250 ， 300)$ ， $[300 ， 350)$ 的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在 $[300 ， 350)$ 内的概率；

(2)、某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：
$A$ 方案：所有芒果以10元/千克收购；
$B$ 方案：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购.
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？

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19. 如图，四棱锥 $E - A B C D$ 中，平面 $A B C D$ 是平行四边形， $M$ ， $N$ 分别为 $B C$ ， $D E$ 的中点.

(1)、证明： $C N / /$ 平面 $A M E$ ；

(2)、若 $Δ A B E$ 是等边三角形，平面 $A B E ⊥$ 平面 $B C E$ ， $C E ⊥ B E$ ， $B E = C E = 2$ ，求三棱锥 $N - A M E$ 的体积.

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20. 已知两定点 $A_{1} (- 2 ， 0)$ ， $A_{2} (2 ， 0)$ ，动点 $M$ 使直线 $M A_{1}$ ， $M A_{2}$ 的斜率的乘积为 $- \frac{1}{4}$ .

(1)、求动点 $M$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、过点 $F (- \sqrt{3} ， 0)$ 的直线与 $E$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，是否存在常数 $λ$ ，使得 $| \overset{⇀}{P Q} | = λ \overset{⇀}{F P} \cdot \overset{⇀}{F Q}$ ？并说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = ln x + a x^{2} + (2 + a) x (a \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $g (x) = \frac{x}{e^{x}} - 2$ ，若对任意给定的 $x_{0} \in (0 ， 2]$ ，关于 $x$ 的方程 $f (x) = g (x_{0})$ 在 $(0 ， e]$ 上有两个不同的实数根，求实数 $a$ 的取值范围（其中 $e = 2.71828$ 为自然对数的底数）.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = c o s φ \\ y = 1 + s i n φ \end{matrix}$ （其中 $φ$ 为参数）.以 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、设直线 $l$ 的极坐标方程是 $ρ sin (θ + \frac{π}{3}) = 2$ ，射线 $O M$ ： $θ = \frac{π}{6}$ 与曲线 $C$ 的交点为 $P$ ，与直线 $l$ 的交点为 $Q$ ，求线段 $P Q$ 的长.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 |$ ， $g (x) = - | x + 3 | + m (m \in R)$ .

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) + a - 2 > 0 (a \in R)$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象恒在函数 $g (x)$ 图象的上方，求 $m$ 的取值范围.

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	1	2	3	4	5	得分
甲	$C$	$C$	$A$	$B$	$B$	4
乙	$C$	$C$	$B$	$B$	$C$	3
丙	$B$	$C$	$C$	$B$	$B$	2