四川省雅安市2018届高三下学期理数三诊试卷

试卷更新日期：2018-06-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $z \cdot (3 - 4 i) = 1$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $- \frac{4}{25}$ B、 $- \frac{4}{25} i$ C、 $\frac{4}{25}$ D、 $\frac{4}{25} i$

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2. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 2}$ ， $B = {x | y = \sqrt{- x^{2} - 2 x}}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 0}$ B、 ${x | - 1 < x \leq 0}$ C、 ${x | 0 < x < 2}$ D、 ${x | 0 \leq x < 2}$

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3. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 $= \frac{1}{2}$ （弦×矢+矢 $^{2}$ ）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，半径等于 $4$ 米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为（）

A、 $6$ 平方米 B、 $9$ 平方米 C、 $12$ 平方米 D、 $15$ 平方米

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4. 若实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{matrix} 3 x - y - 6 \leq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \\ x \geq 0 ， y \geq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = x + 2 y$ 的最大值为（）

A、 $18$ B、 $17$ C、 $16$ D、 $15$

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5. 已知 ${(2 \sqrt{x} + \frac{1}{x})}^{n}$ 展开式的各个二项式系数的和为 $128$ ，则 ${(2 \sqrt{x} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数（）

A、 $448$ B、 $560$ C、 $7$ D、 $35$

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6. 某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、俯视图都是矩形，侧视图是直角三角形，则该几何体的体积等于（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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7. 已知函数 $f (x) = - x^{3} - 7 x + sin x$ ，若 $f (a^{2}) + f (a - 2) > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， 3)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(- 2 ， 1)$

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8. 执行如图的程序框图，如果输入 $p = 8$ ，则输出的 $S =$ （）

A、 $\frac{63}{64}$ B、 $\frac{127}{64}$ C、 $\frac{127}{128}$ D、 $\frac{255}{128}$

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9. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点 $F$ 作直线交双曲线的两条渐近线于 $A$ ， $B$ 两点，若 $B$ 为线段 $F A$ 的中点，且 $O B ⊥ F A$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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10. 已知 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是球 $O$ 的球面上三点， $A B = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ，且棱锥 $O - A B C$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $10 π$ B、 $24 π$ C、 $36 π$ D、 $48 π$

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11. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - k x^{2} - 2 e^{x} + 2 k x$ 只有一个零点，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， e]$ B、 $[0 ， e]$ C、 $(- \infty ， e)$ D、 $[0 ， e)$

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12. 在直角梯形 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $D C / / A B$ ， $A D = D C = 1$ ， $A B = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点，点 $P$ 在以 $A$ 为圆心， $A D$ 为半径的圆弧 $D E M$ 上变动（如图所示）.若 $\overset{⇀}{A P} = λ \overset{⇀}{E D} + μ \overset{⇀}{A F}$ ，其中 $λ ， μ \in R$ ，则 $2 λ - μ$ 的取值范围是（）

A、 $[- \sqrt{2} ， 1]$ B、 $[- \sqrt{2} ， \sqrt{2}]$ C、 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ D、 $[- \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = \sqrt{3} sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的对称轴方程为．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，满足： $a_{1000} + a_{1018} = 2 π$ ， $b_{6} b_{2012} = 2$ ，则 $tan \frac{a_{2} + a_{2016}}{1 + b_{3} b_{2015}} =$ ．

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15. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如表所示.若根据表中数据得出的线性回归方程为 $\hat{y} = 0.7 x + 0.35$ ，则表中空格处 $y$ 的值为．

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16. 已知 $F$ 是抛物线 $y^{2} = x$ 的焦点，点 $A$ ， $B$ 在该抛物线上且位于 $x$ 轴的两侧， $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} = 2$ （其中 $O$ 为坐标原点），则 $Δ A B O$ 与 $Δ A F O$ 面积之和的最小值是．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 {cos}^{2} x + sin (\frac{7 π}{6} - 2 x) - 1$ $(x \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、在 $Δ A B C$ 中，三内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $f (A) = \frac{1}{2}$ ，若 $b + c = 2 a$ ，且 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C} = 6$ ，求 $a$ 的值.

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18. 某校初一年级全年级共有 $500$ 名学生，为了拓展学生的知识面，在放寒假时要求学生在假期期间进行广泛的阅读，开学后老师对全年级学生的阅读量进行了问卷调查，得到了如图所示的频率分布直方图（部分已被损毁），统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读量为 $8.3$ 万字.根据阅读量分组按分层抽样的方法从全年级 $500$ 人中抽出 $20$ 人来作进一步调查.

(1)、从抽出的 $20$ 人中选出 $2$ 人来担任正副组长，求这两个组长中至少有一人的阅读量少于 $7$ 万字的概率；

(2)、为进一步了解广泛阅读对今后学习的影响，现从抽出的 $20$ 人中挑选出阅读量低于 $5$ 万字和高于 $11$ 万字的同学，再从中随机选出 $3$ 人来长期跟踪调查，求这 $3$ 人中来自阅读量为 $11$ 万到 $13$ 万字的人数的概率分布列和期望值.

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19. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $S D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $M$ 为 $S D$ 的中点，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B ⊥ A D$ ， $A B / / C D$ ，且 $C D = 2 A B = 2 A D = 2$ .

(1)、求证： $A M / /$ 平面 $S B C$ ，平面 $S B C ⊥$ 平面 $S D B$ ；

(2)、若 $S B$ 与平面 $S D C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求二面角 $A - S B - C$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(0 ， \sqrt{2})$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过 $(- 1 ， 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，判断点 $G (- \frac{9}{4} ， 0)$ 与以线段 $A B$ 为直径的圆的位置关系，并说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{a x} - a x - 1$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $m$ 为整数，且对于任意正整数 $n (n \geq 2)$ .若 ${(n!)}^{\frac{2}{n (n - 1)}} < m$ 恒成立，求 $m$ 的最小值.

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22. 在直角坐标系中，已知圆 $C$ 的圆心坐标为 $(2 ， 0)$ ，半径为 $\sqrt{2}$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 $l$ 的参数方程为： ${\begin{matrix} x = - t \\ y = 1 + t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）

(1)、求圆 $C$ 和直线 $l$ 的极坐标方程；

(2)、点 $P$ 的极坐标为 $(1 ， \frac{π}{2})$ ，直线 $l$ 与圆 $C$ 相较于 $A ， B$ ，求 $| P A | + | P B |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + a | + | x - 2 |$ （其中 $a \in R$ ）.

(1)、当 $a = - 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 6$ 的解集；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 3 a^{2} - | 2 - x |$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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