山西省孝义市2018届高三下学期文数一模考试试卷

试卷更新日期：2018-06-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 7}$ ， $B = {x \in N | 2 < x \leq 6}$ ，全集 $U = A \cup^{} B$ ，则 $∁_{U} B =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 7}$ B、 ${1 ， 7}$ C、 ${2 ， 3 ， 7}$ D、 ${2 ， 7}$

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2. 已知平面向量 $\overset{⇀}{A B} = (1 ， 2)$ ， $\overset{⇀}{A C} = (3 ， 4)$ ，则向量 $\overset{⇀}{C B}$ 的模是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $5$

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3. “ $x \neq 0$ ”是“ $x > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 问题“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”源自南北朝张邱建所著的《张邱建算经》，该问题的答案是（）

A、 $90$ 尺 B、 $93$ 尺 C、 $95$ 尺 D、 $97$ 尺

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5. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{- x} - 2 ， x < 0 \\ g (x) ， x > 0 \end{matrix}$ 为奇函数，则 $f (g (2)) =$ （）

A、-2 B、2 C、-1 D、1

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6. 从装有大小材质完全相同的 $3$ 个红球和 $3$ 个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 已知 $p$ 为直线 $x + y - 2 = 0$ 上的点，过点 $p$ 作圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，切点为 $M$ ， $N$ ，若 $∠ M P N = 90^{\circ}$ ，则这样的点 $p$ 有（）

A、 $0$ 个 B、 $1$ 个 C、 $2$ 个 D、无数个

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8. 某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为 $1$ ，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{28}{3} π$ B、 $\frac{32}{3} π$ C、 $\frac{52}{3} π$ D、 $\frac{56}{3} π$

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9. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} sin \frac{ω x}{2} cos \frac{ω x}{2} + 2 {cos}^{2} \frac{ω x}{2} - 1 (ω > 0)$ 的周期为 $π$ ，当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，方程 $f (x) = m$ 恰有两个不同的实数解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $f (x_{1} + x_{2}) =$ （）

A、 $2$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $- 2$

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10. 中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等？”意思是现有松树高 $5$ 尺，竹子高 $2$ 尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是根据这一问题所编制的一个程序框图，若输入 $x = 5$ ， $y = 2$ ，输出 $n = 4$ ，则程序框图中的中应填入（）

A、 $y < x$ ？ B、 $y \leq x$ ？ C、 $x \leq y$ ？ D、 $x = y$ ？

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11. 已知函数 $f (x) = e^{- x} - 2 x - a$ ，若曲线 $y = x^{3} + x + 1 (x \in [- 1 ， 1])$ 上存在点 $(x_{0} ， y_{0})$ 使得 $f (y_{0}) = y_{0}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， e^{- 3} - 9] \cup^{} [e + 3 ， + \infty)$ B、 $[e^{- 3} - 9 ， e + 3]$ C、 $(e^{- 3} - 9 ， e^{2} + 6)$ D、 $(- \infty ， e^{- 3} - 9) \cup^{} (e + 3 ， + \infty)$

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12. 在四面体 $A B C D$ 中， $A B = A C = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 6$ ， $A D ⊥$ 底面 $A B C$ ， $△ D B C$ 的面积是 $6$ ，若该四面体的顶点均在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的表面积是（）

A、 $24 π$ B、 $32 π$ C、 $46 π$ D、 $49 π$

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13. 某大型商场去年国庆期间累计生成 $2$ 万张购物单，从中随机抽出 $100$ 张，对每单消费金额进行统计得到下表：
消费金额（单位：元）
$(0 ， 200]$
$(200 ， 400]$
$(400 ， 600]$
$(600 ， 800]$
$(800 ， 1000]$
购物单张数
25
25
30
10
10
由于工作人员失误，后两栏数据已无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率，完成下列问题：

(1)、估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过 $800$ 元的概率；

(2)、为鼓励顾客消费，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过 $600$ 元者，可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值 $500$ 元、 $200$ 元、 $100$ 元的奖品.已知中奖率为 $100 %$ ，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等比数列，其中一等奖的中奖率为 $\frac{1}{21}$ .若今年国庆期间该商场的购物单数量比去年同期增长 $5 %$ ，式预测商场今年国庆期间采办奖品的开销.

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二、填空题

14. 复数 $z$ 满足 $(1 - 2 i) z = 7 + i$ ，则复数 $z$ 的共轭复数 $z =$ ．

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15. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x - y \leq 0 ， \\ x - 3 y + 5 \geq 0 ， \\ y \geq 1 ， \end{matrix}$ 则 $z = {(\frac{1}{2})}^{x + y - 2}$ 的最大值是．

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16. 是 $P$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 上的点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右焦点，且 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $P F_{1}$ 与 $y$ 轴交于 $Q$ 点， $O$ 为坐标原点，若四边形 $O F_{2} P Q$ 有内切圆，则 $C$ 的离心率为．

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17. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = {\begin{matrix} \frac{a_{n - 1}}{2} ， a_{n - 1} ， 2 k \\ 3 a_{n - 1} + 1 ， a_{n - 1} ， 2 k - 1 \end{matrix}$ ，若 $a_{1} = 34$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前 $100$ 项的和是．

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三、解答题

18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c cos B + b cos C = 2 a cos A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B C A = 90^{\circ}$ ， $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ .

(1)、证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $B C = A C = 2$ ， $A_{1} A = A_{1} C$ ，求点 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离.

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20. 已知抛物线 $E ： x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ， $P (a ， 0)$ 为 $x$ 轴上的点.

(1)、过点 $P$ 作直线 $l$ 与 $E$ 相切，求切线 $l$ 的方程；

(2)、如果存在过点 $F$ 的直线 $l^{'}$ 与抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点，且直线 $P A$ 与 $P B$ 的倾斜角互补，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = a x - a + ln x$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \in (1 ， + \infty)$ 时，曲线 $y = f (x)$ 总在曲线 $y = a (x^{2} - 1)$ 的下方，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{16}{1 + 3 {sin}^{2} θ}$ ， $P$ 为曲线 $C$ 上的动点， $C$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、求线段OP中点Q的轨迹参数方程；

(2)、若M是（1）中点Q的轨迹上的动点，求△MAB面积的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 2 | - 2 | x - 1 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) \leq 1$ ；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) > a x$ 只有一个正整数解，求实数 $a$ 的取值范围.

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消费金额（单位：元）	$(0 ， 200]$	$(200 ， 400]$	$(400 ， 600]$	$(600 ， 800]$	$(800 ， 1000]$
购物单张数	25	25	30	10	10