辽宁省朝阳市普通高中2018届高三理数第三次模拟考试试卷

试卷更新日期：2018-06-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x + 3 \geq 0}$ ， $B = {x \in N | - 1 \leq x \leq 5}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${1 ， 3 ， 4 ， 5}$ B、 ${0 ， 1 ， 4 ， 5}$ C、 ${0 ， 1 ， 3 ， 4 ， 5}$ D、 ${3 ， 4 ， 5}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z {(1 + i)}^{2} = 2 - i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z |$ 为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、1

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3. 某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（）

A、46，45 B、45，46 C、46，47 D、47，45

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4. 若在区间 $[- \sqrt{2} ， \sqrt{2}]$ 上随机取一个数 $k$ ，则“直线 $y = k x + \sqrt{3}$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 相交”的概率为（）

A、 $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{4}$ B、 $3 - 2 \sqrt{2}$ C、 $2 - \sqrt{2}$ D、 $\frac{2 - \sqrt{2}}{3}$

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5. 《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（）

A、 $\frac{100}{11}$ 升 B、 $\frac{90}{11}$ 升 C、 $\frac{254}{33}$ 升 D、 $\frac{201}{22}$ 升

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6. 已知 $α ， β$ 是两个不同的平面， $l$ 是一条直线，给出下列说法：
①若 $l ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $l / / β$ ；②若 $l ⊥ α$ ， $α / / β$ ，则 $l / / β$ ；③若 $l ⊥ α$ ， $α / / β$ ，则 $l ⊥ β$ ；④若 $l / / α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ β$ .其中说法正确的个数为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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7. 执行如图所示的程序框图，若输入的 $t = 0.001$ ，则输出的 $n =$ （）

A、6 B、5 C、4 D、3

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8. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ， $f (\frac{π}{6}) = f (\frac{π}{3})$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 上有最小值，无最大值，则 $ω$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{11}{3}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{14}{3}$

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9. 已知点 $P (4 ， 4)$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 上的一点， $F$ 是其焦点，定点 $M (- 1 ， 4)$ ，则 $Δ M P F$ 的外接圆的面积为（）

A、 $\frac{125 π}{32}$ B、 $\frac{125 π}{16}$ C、 $\frac{125 π}{8}$ D、 $\frac{125 π}{4}$

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10. 在 ${(\sqrt{x} + \frac{3}{x})}^{n}$ 的二项展开式中，各项系数之和为 $A$ ，二项式系数之和为 $B$ ，若 $A + B = 72$ ，则二项展开式中常数项的值为（）

A、6 B、9 C、12 D、18

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11. 已知点 $P$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 右支上一点， $F_{1} ， F_{2}$ 分别为双曲线的左、右焦点， $I$ 为 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的内心（三角形 $P F_{1} F_{2}$ 内切圆的圆心），若 $S_{Δ I P F_{1}} - S_{Δ I P F_{2}} \geq \frac{1}{2} S_{Δ I F_{1} F_{2}}$ （ $S_{Δ I P F_{1}} ， S_{Δ I P F_{2}} ， S_{Δ I F_{1} F_{2}}$ 分别表示 $Δ I P F_{1} ， Δ I P F_{2} ， Δ I F_{1} F_{2}$ 的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（）

A、 $(1 ， 2]$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(2 ， 3]$

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在区间 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ 上的函数， $f' (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $x f' (x) ln 2 x > f (x) (x > \frac{1}{2})$ ， $f (\frac{e}{2}) = 1$ ，则不等式 $f (\frac{e^{x}}{2}) < x$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(0 ， 1)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $60^{0}$ ， $| \overset{⇀}{a} | = 2$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 3$ ，则 $| 3 \overset{⇀}{a} - 2 \overset{⇀}{b} | =$ .

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14. 若 $tan α = 3 ， α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $cos (α - \frac{π}{4}) =$ .

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15. 已知实数 $x ， y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + 2 y \leq 8 \\ 3 x + y \leq 9 \end{matrix}$ ，则 $z = x + 3 y$ 的最大值是.

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16. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别为棱 $C_{1} D_{1} ， C_{1} C$ 的中点，则直线 $A M$ 与 $B N$ 所成角的余弦值为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $n ， a_{n} ， S_{n}$ 成等差数列， $b_{n} = 2 {log}_{2} (1 + a_{n}) - 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 中去掉数列 ${a_{n}}$ 的项后余下的项按原顺序组成数列 ${c_{n}}$ ，求 $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{100}$ 的值.

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18. 今年，楼市火爆，特别是一线城市.某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有 $n$ 套房源，则设置 $n$ 个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源．

(1)、求每个家庭能中签的概率；

(2)、已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号，目前该小区剩余房源有某单元27、28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，第28层有4套房．记甲、乙两个家庭抽取到第28层的房源套数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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19. 如图，在 $Δ P B E$ 中， $A B ⊥ P E$ ， $D$ 是 $A E$ 的中点， $C$ 是线段 $B E$ 上的一点，且 $A C = \sqrt{5}$ ， $A B = A P = \frac{1}{2} A E = 2$ ，将 $Δ P B A$ 沿 $A B$ 折起使得二面角 $P - A B - E$ 是直二面角．

(1)、求证： CD∥ 平面 PAB ；

(2)、求直线 PE 与平面 PCD 所成角的正切值.

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20. 如图，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $M (\frac{4}{3} ， \frac{1}{3})$ ，且点 $M$ 到椭圆的两焦点的距离之和为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $R ， S$ 是椭圆 $C$ 上的两个点，线段 $R S$ 的中垂线 $l$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ 且直线 $l$ 与 $R S$ 交于点 $P$ ， $O$ 为坐标原点，求证： $P ， O ， M$ 三点共线.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - (1 - k) x - 1 (k \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数 $k$ 的最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上无零点，求实数 $k$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + 2 t \\ y = 6 t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 $M$ 的极坐标是 $(2 ， \frac{4 π}{3})$ .

(1)、求直线 $l$ 的普通方程；

(2)、求直线 $l$ 上的点到点 $M$ 距离最小时的点的直角坐标.

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23. 已知函数 $f (x) = a + | x - 2 a | (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 2$ ，解不等式 $f (x) \geq 3 |$ ；

(2)、若 $a > 0$ ，求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 2]$ 上的最大值和最小值.

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