陕西省宝鸡市2018届高三理数质量检测试卷（三）

试卷更新日期：2018-06-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 2^{x - 2} < 1} ， B = {x | 1 - x \geq 0}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${x | x \leq 1}$ B、 ${x | 1 \leq x < 2}$ C、 ${x | 0 < x \leq 1}$ D、 ${x | 0 < x < 1}$

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2. 函数 $f (x) = \frac{4^{x} + 1}{2^{x}}$ 的图像（）

A、关于原点对称 B、关于 $x$ 轴对称 C、关于 $y$ 轴对称 D、关于直线 $y = x$ 轴对称

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3. 角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $(- \frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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4. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{6}}{3} π$ B、 $8 \sqrt{6} π$ C、 $\sqrt{6} π$ D、 $24 π$

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5. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{28}{5}$ C、5 D、6

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6. 已知不共线向量 $\overset{⇀}{a} ， \vec{b} ， | \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 3 ， \vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 1$ ，则 $| \vec{b} - \overset{⇀}{a} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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7. 复数 $2 + i$ 与复数 $\frac{10}{3 + i}$ 在复平面上的对应点分别是 $A$ 、 $B$ ，则 $∠ A O B$ 等于（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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8. “酒驾猛于虎”.所以交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过 $0.2 m g / m l$ .假设某人喝了少量酒，血液中酒精含量也会迅速上升到 $0.8 m g / m l$ ，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时 $50 %$ 的速度减少，则他至少要经过（）小时后才可以驾驶机动车.

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 下面给出的是某校高二（2）班50名学生某次测试数学成绩的频率分布折线图，根据图中所提供的信息，则下列结论正确的是

A、成绩是50分或100分的人数是0 B、成绩为75分的人数为20 C、成绩为60分的频率为0.18 D、成绩落在60—80分的人数为29

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10. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B C A = 90^{0}$ ， $M ， N$ 分别是 $A_{1} B_{1} ， A_{1} C_{1}$ 的中点， $B C = C A = C C_{1}$ ，则 $B M$ 与 $A N$ 所成的角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11. 若函数 $f (x) = m - x^{2} + 2 ln x$ 在 $[\frac{1}{e^{2}} ， e]$ 上有两个不同的零点，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(1 ， e^{2} - 2]$ B、 $[1 + \frac{1}{e^{4}} ， e^{2} - 2]$ C、 $[1 ， 4 + \frac{1}{e^{4}}]$ D、 $[1 ， + \infty)$

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，离心率为 $e$ ，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左、右两支分别交于 $A 、 B$ 两点，若 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{B F_{2}} = 0$ ，且 $∠ F_{1} A F_{2} = 150^{\circ}$ ，则 $e^{2} =$ （）

A、 $7 - 2 \sqrt{3}$ B、 $7 - \sqrt{3}$ C、 $7 + \sqrt{3}$ D、 $7 + 2 \sqrt{3}$

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二、填空题

13. 二项式 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中常数项是．

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14. 2018年4月初，甲、乙、丙三位全国文化名人特来我市参加“宝鸡发展大会”.会后有旅游公司询问甲、乙、丙三位是否去过周公庙，法门寺，五丈原三个地方时.
甲说：我去过的地方比乙多，但没去过法门寺；
乙说：我没去过五丈原；
丙说：我们三人去过同一个地方.
由此可判断乙去过的地方为．

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15. 已知 $a 、 b 、 c$ 为集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ 中三个不同的数，通过如图所示算法框图给出的算法输出一个整数 $a$ ，则输出的数 $a = 5$ 的概率是．

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16. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin ω x + cos ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则当 $x \in [0$ ， $\frac{π}{2}]$ 时函数 $f (x)$ 的一个零点是．

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三、解答题

17. 设 ${a_{n}}$ 是首项为 $a_{1}$ ，公比为 $q$ 的等比数列， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、已知 $a_{2} = 2$ ，且 $a_{3}$ 是 $S_{1} ， S_{3}$ 的等差中项，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、当 $a_{1} = 1 ， q = 2$ 时，令 $b_{n} = {log}_{4} (S_{n} + 1)$ ，求证：数列 ${b_{n}}$ 是等差数列.

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18. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖.

(1)、求顾客抽奖1次能获奖的概率；

(2)、若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中或一等奖的次数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列、数学期望和方差.

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19. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A D = 2 B C = 2 C D = 4 ， A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、证明： $A D_{1} ⊥ B_{1} D$ ；

(2)、设 $E$ 是线段 $A_{1} B_{1}$ 上的动点，是否存在这样的点 $E$ ，使得二面角 $E - B D_{1} - A$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ ，如果存在，求出 $B_{1} E$ 的长；如果不存在，请说明理由.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率 $e = \sqrt{\frac{2}{3}}$ 且椭圆 $C$ 上的点到点 $Q (0 ， 2)$ 的距离的最大值为3.
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）在椭圆 $C$ 上，是否存在点 $M (m ， n)$ ，使得直线 $l$ ： $m x + n y = 1$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 相交于不同的两点 $A$ 、 $B$ ，且 $Δ O A B$ 的面积最大？若存在，求出点 $M$ 的坐标及对应的 $Δ O A B$ 的面积；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = (2 - a) x - 2 (1 + ln x) + a ， g (x) = \frac{e x}{e^{x}}$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{1}{2})$ 上无零点，求实数 $a$ 的最小值；

(2)、若对任意给定的 $x_{0} \in (0 ， e]$ ，在 $x_{0} \in (0 ， e]$ 上方程 $f (x) = g (x_{0})$ 总存在不等的实根，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知圆锥曲线 $C ： {\begin{matrix} x = 2 c o s α \\ y = \sqrt{3} s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数）和定点 $A (0 ， \sqrt{3})$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求直线 $A F_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、经过点 $F_{1}$ 且与直线 $A F_{2}$ 垂直的直线 $l$ 交此圆锥曲线于 $M ， N$ 两点，求 $| | M F_{1} | - | N F_{1} | |$ 的值.

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23. 设函数 $f (x) = | x + \frac{1}{a} | + | x - a | (a > 0)$ .

(1)、证明： $f (x) \geq 2$ ；

(2)、若 $f (3) < 5$ ，求 $a$ 的取值范围.

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