山东省潍坊市2018届高三文数第二次高考模拟考试卷

试卷更新日期：2018-06-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < 1}$ ， $B = {x | e^{x} < 1}$ ，则（）

A、 $A \cap B = {x | x < 1}$ B、 $A \cup B = {x | x < e}$ C、 $A \cup C_{R} B = R$ D、 $C_{R} A \cap B = {x | 0 < x < 1}$

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2. 如图，正方形 $A B C D$ 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{π}{8}$ D、 $\frac{π}{4}$

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3. 下面四个命题中，正确的是（）

A、若复数 $z_{1} = {\bar{z}}_{2}$ ，则 $z_{1} • z_{2} \in R$ B、若复数 $z$ 满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ C、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ 或 $z_{1} = - z_{2}$ D、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $z_{1} + z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} \in R$ ， $z_{2} \in R$

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4. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率为 $\frac{5}{3}$ ，其左焦点为 $F_{1} (- 5 ， 0)$ ，则双曲线 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

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5. 执行如图所示程序框图，则输出的结果为（）

A、-4 B、4 C、-6 D、6

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6. 已知 $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ， $tan (α - π) = - \frac{3}{4}$ ，则 $cos (α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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7. 已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数解析式可能为（）

A、 $y = x + \frac{cos x}{x}$ B、 $y = x^{2} + \frac{sin x}{x}$ C、 $y = x - \frac{cos x}{x}$ D、 $y = x - \frac{sin x}{x}$

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8. 若将函数 $y = cos ω x (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后与函数 $y = sin ω x$ 的图象重合，则 $ω$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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9. 已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $x = e$ 处取得最小值 $\frac{1}{e}$ B、 $f (x)$ 有两个零点 C、 $y = f (x)$ 的图象关于点 $（ 1 ， 0 ）$ 对称 D、 $f (4) < f (π) < f (3)$

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10. 在 $Δ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $\frac{2 sin C - sin B}{sin B} = \frac{a cos B}{b cos A}$ ，则 $A$ =（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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11. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，平面 $β$ 截此三棱柱，分别与 $A C$ ， $B C$ ， $B_{1} C_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 交于点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ ，且直线 $C C_{1} / /$ 平面 $β$ .有下列三个命题：①四边形 $E F G H$ 是平行四边形；②平面 $β / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；③若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 是直棱柱，则平面 $β ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ .其中正确的命题为（）

A、①② B、①③ C、①②③ D、②③

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12. 直线 $y = k (x + 2) (k > 0)$ 与抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $F$ 为 $C$ 的焦点，若 $sin ∠ A B F = 2 sin ∠ B A F$ ，则 $k$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题

13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为.

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14. 在等腰 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 6$ ，点 $D$ 为边 $B C$ 的中心，则 $\overset{⇀}{A B} • \overset{⇀}{B D} =$ ．

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15. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x + y - 1 \leq 0 \\ x + 2 y + 1 \geq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x - 3 y$ 的最大值为．

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16. 设函数 $f (x) (x \in R)$ 满足 $f (x - π) = f (x) - sin x$ ，当 $- π < x \leq 0$ 时， $f (x) = 0$ ，则 $f (\frac{2018 π}{3}) =$ .

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三、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{n} > 0 (n \in N^{*})$ ， $S_{6} + a_{6}$ 是 $S_{4} + a_{4}$ ， $S_{5} + a_{5}$ 的等差中项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {log}_{\frac{1}{2}} a_{2 n - 1}$ ，数列 ${\frac{2}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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18. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C$ ， $A A_{1} = D A_{1}$ ， $∠ A B C = 120^{\circ}$ .

(1)、证明： $A D ⊥ B A_{1}$ ；

(2)、若 $A D = D A_{1} = 4$ ， $B A_{1} = 2 \sqrt{6}$ ，求多面体 $B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积.

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19. “微信运动”是手机 $A P P$ 推出的多款健康运动软件中的一款，杨老师的微信朋友圈内有 $600$ 位好友参与了“微信运动”，他随机选取了 $40$ 位微信好友（女 $20$ 人，男 $20$ 人），统计其在某一天的走路步数.其中，女性好友的走路步数数据记录如下：
5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 9860
8753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980
男性好友走路的步数情况可分为五个类别： $A (0 - 2000$ 步)(说明：“ $0 - 2000$ ”表示大于等于 $0$ ，小于等于 $2000$ .下同)， $B (2000 - 5000$ 步)， $C (5001 - 8000$ 步)， $C (8001 - 10000$ 步)， $E (10001$ 步及以 $E$ )，且 $B ， D ， E$ 三种类别人数比例为 $1 ： 3 ： 4$ ，将统计结果绘制如图所示的条形图.
若某人一天的走路步数超过 $8000$ 步被系统认定为“卫健型"，否则被系统认定为“进步型”.

(1)、若以杨老师选取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的 $600$ 名好友中，每天走路步数在 $5001 ~ 10000$ 步的人数；

(2)、请根据选取的样本数据完成下面的 $2 \times 2$ 列联表并据此判断能否有 $95 %$ 以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关?

卫健型
进步型
总计
男

20
女

20
总计

40

(3)、若从杨老师当天选取的步数大于10000的好友中按男女比例分层选取 $5$ 人进行身体状况调查，然后再从这 $5$ 位好友中选取 $2$ 人进行访谈，求至少有一位女性好友的概率.
附： $κ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635

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20. 已知平面上动点 $P$ 到点 $F (\sqrt{3} ， 0)$ 的距离与到直线 $x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 的距离之比为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、设 $M (m ， n)$ 是曲线 $E$ 上的动点，直线 $l$ 的方程为 $m x + n y = 1$ .
①设直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 交于不同两点 $C$ ， $D$ ，求 $| C D |$ 的取值范围；
②求与动直线 $l$ 恒相切的定椭圆 $E^{'}$ 的方程；并探究：若 $M (m ， n)$ 是曲线 $Γ$ ： $A x^{2} + B y^{2} = 1 (A \cdot B \neq 0)$ 上的动点，是否存在直线 $l$ ： $m x + n y = 1$ 恒相切的定曲线 $Γ^{'}$ ？若存在，直接写出曲线 $Γ^{'}$ 的方程；若不存在，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = (x - a) e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} + a (a - 1) x . (x \in R)$

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线为 $l$ ， $l$ 与 $x$ 轴的交点坐标为 $(2 ， 0)$ ，求 $a$ 的值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + 2 c o s θ \\ y = 2 s i n θ \end{matrix}$ ，（ $θ$ 为参数）， $M$ 为曲线 $C_{1}$ 上的动点，动点 $P$ 满足 $\overset{⇀}{O P} = a \overset{⇀}{O M}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）， $P$ 点的轨迹为曲线 $C_{2}$ .

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的方程，并说明 $C_{2}$ 是什么曲线；

(2)、在以坐标原点为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， $A$ 点的极坐标为 $(2 ， \frac{π}{3})$ ，射线 $θ = α$ 与 $C_{2}$ 的异于极点的交点为 $B$ ，已知 $Δ A O B$ 面积的最大值为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ，求 $a$ 的值.

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23. 已知 $f (x) = | x + 1 | + | x - m |$ .

(1)、若 $f (x) \geq 2$ ，求 $m$ 的取值范围；

(2)、已知 $m > 1$ ，若 $\exists x \in (- 1 ， 1)$ 使 $f (x) \geq x^{2} + m x + 3$ 成立，求 $m$ 的取值范围.

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635

	卫健型	进步型	总计
男			20
女			20
总计			40