人教新课标A版高中数学必修4 第一章三角函数 1.6三角函数模型的应用同步测试

试卷更新日期：2017-01-11 类型：同步测试

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一、单选题

1. 在一幢20m高的楼顶，测得对面一塔吊顶的仰角为 $60^{0}$ ，塔基的俯角为 $45^{0}$ ，那么塔吊的高是（）

A、 $20 (1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) m$ B、 $20 (1 + \sqrt{3}) m$ C、 $10 (\sqrt{6} + \sqrt{2}) m$ D、 $20 (\sqrt{6} + \sqrt{2}) m$

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2.
一只艘船以均匀的速度由A点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A点观测灯塔C的方位角（从正北方向顺时针转到目标方向的水平角）为45°，行驶60海里后，船在B点观测灯塔C的方位角为75°，则A到C的距离是（　　）海里．

A、30（ $\sqrt{6}$ + $\sqrt{2}$ ） B、30（ $\sqrt{6}$ ﹣ $\sqrt{2}$ ） C、30（ $\sqrt{6}$ ﹣ $\sqrt{3}$ ） D、30（ $\sqrt{6}$ + $\sqrt{3}$ ）

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3.
如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ=（　　）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ C、 $\frac{3 \sqrt{21}}{14}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{28}$

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4.
如图，小明利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（　　）

A、（ $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ + $\frac{3}{2}$ ）m B、（5 $\sqrt{3}$ + $\frac{3}{2}$ ）m C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ m D、4m

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5. 如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（t）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则（）

A、ω= $\frac{2 π}{15}$ ，A=5 B、ω= $\frac{15}{2 π}$ ，A=5 C、ω= $\frac{15}{2 π}$ ，A=3 D、ω= $\frac{2 π}{15}$ ，A=3

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6.
如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin( $\frac{π}{6}$ x+ $φ$ )+k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）

A、5 B、6 C、8 D、10

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7.
要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（　　）

A、10 $\sqrt{2}$ m B、20m C、20 $\sqrt{3}$ m D、40m

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8.
如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p(x，y)．若初始位置为P₀( $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ )，当秒针从P₀（注：此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）

A、 $y = \sin (\frac{π}{30} t + \frac{π}{6})$ B、 $y = \sin (- \frac{π}{60} t - \frac{π}{6})$ C、 $y = \sin (- \frac{π}{30} t + \frac{π}{6})$ D、 $y = \sin (- \frac{π}{30} t - \frac{π}{3})$

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9.
如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ（θ＞0）角到OB，设B点与地面距离为h，则h与θ的关系式为（　　）

A、h=5.6+4.8sinθ B、h=5.6+4.8cosθ C、h=5.6+4.8cos（θ+ $\frac{π}{2}$ ） D、h=5.6+4.8sin（θ﹣ $\frac{π}{2}$ ）

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10.
夏季来临，人们注意避暑．如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin（ωx+φ）+B，则成都市这一天中午12时天气的温度大约是（　　）

A、25℃ B、26℃ C、27℃ D、28℃

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11.
如图，某大风车的半径为2m，每6s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t（s）后与地面的距离为h（m），则函数h=f（t）的关系式（　　）

A、y=﹣2cos $\frac{π t}{6}$ +2.5 B、y=﹣2sin $\frac{π t}{6}$ +2.5 C、y=﹣2cos $\frac{π t}{3}$ +2.5 D、y=﹣2sin $\frac{π t}{3}$ +2.5

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12. 矩形ABCD满足AB=2，AD=1，点A、B分别在射线OM，ON上，∠MON为直角，当C到点O的距离最大时，∠BAO的大小为（　　）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{8}$

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13.
如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为P₀（ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ），当秒针从P₀ （注此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（　　）

A、y=sin（ $\frac{π}{30} t + \frac{π}{6}$ ） B、y=sin（﹣ $\frac{π}{60} t - \frac{π}{6}$ ） C、y=sin（﹣ $\frac{π}{30} t + \frac{π}{6}$ ） D、y=sin（﹣ $\frac{π}{30} t - \frac{π}{3}$ ）

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14.
一个大风车的半径为8m，12min旋转一周，它的最低点Po离地面2m，风车翼片的一个端点P从P_o开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间f（min）之间的函数关系式是（　　）

A、 $h (t) = - 8 \sin \frac{π}{6} t + 10$ B、 $h (t) = - 8 \cos \frac{π}{6} t + 10$ C、 $h (t) = - 8 \sin \frac{π}{6} t + 8$ D、 $h (t) = - 8 \cos \frac{π}{6} t + 8$

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15.
为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P（x，y），若初如位置为 $P_{0} (\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ ，秒针从P₀（注：此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（　　）

A、 $y = \sin (\frac{π}{30} t + \frac{π}{6})$ B、 $y = \sin (- \frac{π}{60} t - \frac{π}{6})$ C、 $y = \sin (- \frac{π}{30} t + \frac{π}{6})$ D、 $y = \sin (- \frac{π}{30} t - \frac{π}{6})$

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二、填空题

16.
某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系，其中0≤t≤24，S的单位是m，t的单位是h，则18点时潮水起落的速度是．

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17. 一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则16分钟后P点距地面的高度是．

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18. 如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为海里/小时．

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19.
如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin( $\frac{π}{6}$ x＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 .

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20.
国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ $\frac{π}{4}$ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω= ．

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三、解答题

21. 某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
10
13
9.9
7
10
13
10.1
7
10
经过长期观测，y=f（t）可近似的看成是函数y=Asinωt+b
（1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式；
（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？

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22.
如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b．
（1）求这一天的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式．

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23.
“神州”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为B，C，D）．当返回舱距地面1万米的P点时（假定以后垂直下落，并在A点着陆），C救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°．D救援中心测得着陆点A位于其正东方向．
（1）求B，C两救援中心间的距离；
（2）D救援中心与着陆点A间的距离．

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24.
节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=30km，BC=15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO=x（弧度），排污管道的总长度为ykm．
（1）将y表示为x的函数；
（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．

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25. 一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ= $\frac{π}{3}$ ，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．

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t	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y	10	13	9.9	7	10	13	10.1	7	10

人教新课标A版高中数学必修4 第一章三角函数 1.6三角函数模型的应用 同步测试

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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