2016-2017学年天津市六校联考高三上学期）期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-01-10 类型：期中考试

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一、选择题

1. 在等差数列{a_n}中，a₅=33，公差d=3，则201是该数列的第（）项．

A、60 B、61 C、62 D、63

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2. 设x∈R，向量 $\vec{a}$ =（x，1）， $\vec{b}$ =（1，﹣2），且 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，则| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |=（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、2 $\sqrt{5}$ D、10

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3. 在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c²=（a﹣b）²+6，C= $\frac{π}{3}$ ，则△ABC的面积（）

A、3 B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、3 $\sqrt{3}$

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4. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} \log_{_{2}} (4 - x) ， x < 4 \\ 1 + 2^{x - 1} ， x \geq 4 \end{matrix}$ ，则f（0）+f（log₂32）=（）

A、19 B、17 C、15 D、13

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5. 将函数f（x）=3sin（4x+ $\frac{π}{6}$ ）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是（）

A、x= $\frac{π}{12}$ B、x= $\frac{π}{6}$ C、 $x = \frac{π}{3}$ D、 $x = \frac{2 π}{3}$

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6. 定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（）

A、f（sinα）＞f（sinβ） B、f（sinα）＜f（cosβ） C、f（cosα）＜f（cosβ） D、f（sinα）＞f（cosβ）

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7. 已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n₊₁= $\frac{a_{n}}{a_{n} + 2}$ （n∈N^*），若b_n₊₁=（n﹣2λ）•（ $\frac{1}{a_{n}}$ +1）（n∈N^*），b₁=﹣λ，且数列{b_n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）

A、 $λ > \frac{2}{3}$ B、 $λ > \frac{3}{2}$ C、 $λ < \frac{2}{3}$ D、 $λ < \frac{3}{2}$

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8. 设函数f（x）= $\frac{\ln x}{x}$ ，关于x的方程[f（x）]²+mf（x）﹣1=0有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）

A、（﹣∞，e﹣ $\frac{1}{e}$ ） B、（e﹣ $\frac{1}{e}$ ，+∞） C、（0，e） D、（1，e）

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二、填空题

9. 设复数z满足（z+i）i=﹣3+4i（i为虚数单位），则z的模为．

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10. 计算 $\int_{1}^{e}$ （2x+ $\frac{1}{x}$ ）dx= ．

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11. 已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）•f（x）=1对于x∈R恒成立，且f（x）＞0，则f（2015）= ．

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12. 若 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α}$ =3，tan（α﹣β）=2，则tan（β﹣2α）= ．

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13. D为△ABC的BC边上一点， $\vec{D C} = - 2 \vec{D B}$ ，过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F，若 $\vec{A E} = λ \vec{A B} ， \vec{A F} = μ \vec{A C}$ ，其中λ＞0，μ＞0，则 $\frac{2}{λ}$ + $\frac{1}{u}$ = ．

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14. 已知奇函数f（x）定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f′（x）为其导函数，且满足以下条件①x＞0时，f′（x）＜ $\frac{3 f (x)}{x}$ ；②f（1）= $\frac{1}{2}$ ；③f（2x）=2f（x），则不等式 $\frac{f (x)}{4 x}$ ＜2x²的解集为．

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三、解答题

15. 已知函数f（x）=2sinxcos（x+ $\frac{π}{3}$ ）+ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求函数f（x）的单调递减区间；

(2)、求函数f（x）在区间[0， $\frac{π}{2}$ ]上的最大值及最小值．

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16. 设函数f（x）=lnx﹣ $\frac{1}{2}$ ax²﹣bx

(1)、当a=b= $\frac{1}{2}$ 时，求函数f（x）的单调区间；

(2)、当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e²]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．

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17. 已知数列{b_n}的前n项和 $B_{n} = \frac{3 n^{2} - n}{2}$ ．

(1)、求数列{b_n}的通项公式；

(2)、设数列{a_n}的通项 $a_{n} = [b_{n} + {(- 1)}^{n}] \cdot 2^{n}$ ，求数列{a_n}的前n项和T_n ．

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18. 已知函数f（x）= $\frac{1}{2}$ x²﹣2ax+lnx（a∈R），x∈（1，+∞）．

(1)、若函数f（x）有且只有一个极值点，求实数a的取值范围；

(2)、对于函数f（x）、f₁（x）、f₂（x），若对于区间D上的任意一个x，都有f₁（x）＜f（x）＜f₂（x），则称函数f（x）是函数f₁（x）、f₂（x）在区间D上的一个“分界函数”．已知f₁（x）=（1﹣a²）lnx，f₂（x）=（1﹣a）x² ，问是否存在实数a，使得f（x）是函数f₁（x）、f₂（x）在区间（1，+∞）上的一个“分界函数”？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

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19. 已知各项都是正数的数列{a_n}的前n项和为S_n ， S_n=a_n²+ $\frac{1}{2}$ a_n ， n∈N^*

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设数列{b_n}满足：b₁=1，b_n﹣b_n_﹣₁=2a_n（n≥2），求数列{ $\frac{1}{b_{n}}$ }的前n项和T_n

(3)、若T_n≤λ（n+4）对任意n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

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20. 设函数f（x）=2ax²+（a+4）x+lnx．

(1)、若f（x）在x= $\frac{1}{4}$ 处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值；

(2)、讨论函数f（x）的单调区间；

(3)、若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x₀ ，证明f′（x₀）＜0．

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