2016-2017学年江西省赣州市十三县（市）联考高三上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-01-10 类型：期中考试

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一、选择题

1. 若集合M={x|y= $\sqrt{x}$ }，N={y|y=x²﹣2，x∈R}，则M∩N=（）

A、[0，+∞） B、[﹣2，+∞） C、∅ D、[﹣2，0）

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2. 若 $\frac{1}{a}$ ＜ $\frac{1}{b}$ ＜0，则下列结论不正确的是（）

A、a²＜b² B、ab＜b² C、a+b＜0 D、|a|+|b|＞|a+b|

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3. 下列说法不正确的是（）

A、若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题 B、命题“∃x₀∈R，x₀²﹣x₀﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x²﹣x﹣1≥0” C、“φ= $\frac{π}{2}$ ”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件 D、a＜0时，幂函数y=x^a在（0，+∞）上单调递减

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4. 记f（x）=2^|^x^| ， a=f $(\log_{\frac{1}{3}} 4) ， b = f (\log_{2} 5$ ），c=f（0），则a，b，c的大小关系为（）

A、a＜b＜c B、c＜a＜b C、a＜c＜b D、c＜b＜a

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5. 函数y=2sin（ $\frac{π}{6}$ ﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）

A、[0， $\frac{π}{3}$ ] B、[ $\frac{π}{12} ， \frac{7 π}{12}$ ] C、[ $\frac{π}{3}$ ， $\frac{5 π}{6}$ ] D、[ $\frac{5 π}{6}$ ，π]

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6. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} | 2^{x} - 1 | ， x < 2 \\ \frac{3}{x - 1} ， x > 2 \end{matrix}$ ，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）

A、（1，3） B、（0，3） C、（0，2） D、（0，1）

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7. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为120°，且| $\vec{a}$ |=2，| $\vec{b}$ |=3，则向量2 $\vec{a}$ +3 $\vec{b}$ 在向量2 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ 方向上的投影为（）

A、 $\frac{19 \sqrt{13}}{13}$ B、 $\frac{6 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{5 \sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{13}$

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8. 若函数f（x）=ka^x﹣a^﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log_a（x+k）的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 对于使f（x）≤M恒成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f（x）的上确界．若a＞0，b＞0且a+b=1，则 $- \frac{1}{2 a} - \frac{2}{b}$ 的上确界为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $- \frac{9}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、﹣4

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10. 定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当x∈[﹣3，﹣1）时，f（x）=﹣（x+2）² ，当x∈[﹣1，3）时，f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值为（）

A、336 B、337 C、1676 D、2017

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11. 定义在R上的函数f（x）满足：f（x）＞1﹣f′（x），f（0）=0，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e^xf（x）＞e^x﹣1（其中e为自然对数的底数）的解集为（）

A、（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B、（0，+∞） C、（﹣∞，0）∪（1，+∞） D、（﹣1，+∞）

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12. 已知a∈R，若f（x）=（x+ $\frac{a}{x}$ ）e^x在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（）

A、a＞0 B、a≤1 C、a＞1 D、a≤0

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二、填空题

13. 已知点P（﹣1，2），线段PQ的中点M的坐标为（1，﹣1）．若向量 $\vec{P Q}$ 与向量a=（λ，1）共线，则λ= ．

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14. 由直线y=1，y=2，曲线xy=1及y轴所围成的封闭图形的面积是．

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15. 各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₁a₇=4，a₆=8，若函数f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₀x¹⁰的导数为f′（x），则f′（ $\frac{1}{2}$ ）= ．

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16. 已知a，b为正实数，直线y=x﹣a与曲线y=ln（x+b）相切，则 $\frac{a^{2}}{a + b}$ 的取值范围．

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三、解答题

17. 已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x²﹣x﹣m=0成立”是真命题，

(1)、求实数m的取值集合M；

(2)、设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．

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18. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC= $\frac{π}{3}$ ，AB：BC=2：3， $A C = \sqrt{7}$ ．

(1)、求sin∠ACB的值；

(2)、若 $∠ B C D = \frac{3 π}{4}$ ，CD=1，求△ACD的面积．

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19. 已知向量 $\vec{a}$ =（sin（x+ $\frac{π}{6}$ ），1）， $\vec{b}$ =（4，4cosx﹣ $\sqrt{3}$ ）

(1)、若 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，求sin（x+ $\frac{4 π}{3}$ ）的值；

(2)、设f（x）= $\vec{a}$ • $\vec{b}$ ，若α∈[0， $\frac{π}{2}$ ]，f（α﹣ $\frac{π}{6}$ ）=2 $\sqrt{3}$ ，求cosα的值．

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20. 某厂有容量300吨的水塔一个，每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水，已知：该厂生活用水每小时10吨，工业用水总量W（吨）与时间t（单位：小时，规定早晨六点时t=0）的函数关系为W=100 $\sqrt{t}$ ，水塔的进水量有10级，第一级每小时水10吨，以后每提高一级，进水量增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在供应同时打开进水管．问该天进水量应选择几级，既能保证该厂用水（即水塔中水不空），又不会使水溢出？

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21. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ， $\vec{a} = (a_{1} ， 1) ， \vec{b} = (1 ， a_{10})$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 24$ ，且S₁₁=143，数列{b_n}的前n项和为T_n ，且满足 $2^{a_{n} - 1} = λ T_{n} - (a_{1} - 1) (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列{a_n}的通项公式及数列 ${\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}}$ 的前n项和M_n

(2)、是否存在非零实数λ，使得数列{b_n}为等比数列？并说明理由．

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22. 已知f（x）=ln（mx+1）﹣2（m≠0）．

(1)、讨论f（x）的单调性；

(2)、若m＞0，g（x）=f（x）+ $\frac{4}{x + 2}$ 存在两个极值点x₁ ， x₂ ，且g（x₁）+g（x₂）＜0，求m的取值范围．

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