2016-2017学年黑龙江、吉林两省八校联考高三上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-01-10 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知集合A={x|x²＜1}，B=x|2^x＞ $\sqrt{2}}$ ，则A∩B=（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(- \frac{1}{2} ， 1)$

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2. 若a＞0，b＞0，则“a+b＞1”是“ab＞1”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，2）， $\vec{b}$ =（λ，﹣1），若 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，则| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |=（）

A、 $\sqrt{10}$ B、4 C、 $\sqrt{17}$ D、 $\sqrt{5}$

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4. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若a₆=﹣3，S₆=12，则a₅等于（）

A、﹣3 B、﹣1 C、1 D、4

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5. 若a=log_0.22，b=log_0.23，c=2^0.2 ，则（）

A、a＜b＜c B、b＜a＜c C、b＜c＜a D、a＜c＜b

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6. 已知：
命题p：若函数f（x）=x²+|x﹣a|是偶函数，则a=0．
命题q：∀m∈（0，+∞），关于x的方程mx²﹣2x+1=0有解．
在①p∨q；②p∧q；③（￢p）∧q；④（￢p）∨（￢q）中为真命题的是（）

A、②③ B、②④ C、③④ D、①④

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7. 已知△ABC三边a，b，c上的高分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，1，则cosA等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$

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8. 已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜ $\frac{π}{2}$ ），其导函数f'（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）

A、 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = \frac{1}{2} \sin (2 x + \frac{π}{6})$ D、 $f (x) = \frac{1}{2} \sin (2 x - \frac{π}{6})$

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9. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为60°，且满足| $\vec{a}$ ﹣2 $\vec{b}$ |=2，则 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

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10. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=log₂（x+1）+3x，则满足f（x）＞﹣4的实数x的取值范围是（）

A、（﹣2，2） B、（﹣1，1） C、（﹣1，+∞） D、（1，+∞）

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11. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a₁=1，a_n₊₁=S_n+2，则满足 $\frac{S_{n}}{S_{2 n}} < \frac{1}{10}$ 的n的最小值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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12. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（﹣x）+f（x+3）=0；当x∈（0，3）时，f（x）= $\frac{e \ln x}{x}$ ，其中e是自然对数的底数，且e≈2.72，则方程6f（x）﹣x=0在[﹣9，9]上的解的个数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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二、填空题

13. 已知 $\frac{\sin α - 2 \cos α}{\sin α + \cos α}$ =﹣1，则tanα= ．

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14. 已知向量 $\vec{a}$ =（﹣1，﹣3）， $\vec{b}$ =（2，t），且 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ = ．

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15. 已知函数f（x）=x²﹣mlnx在[2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围为．

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16. 已知数列{a_n}与{b_n}满足a_n=2b_n+3（n∈N^*），若{b_n}的前n项和为S_n= $\frac{3}{2}$ （3ⁿ﹣1）且λa_n＞b_n+36（n﹣3）+3λ对一切n∈N^*恒成立，则实数λ的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n= $\frac{1}{2 n - 1}$ ，n∈N^*

(1)、求数列{ $\frac{a_{n} + 2}{a_{n}}$ }的前n项和S_n

(2)、设b_n=a_na_n₊₁ ，求{b_n}的前n项和T_n ．

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18. 在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边 $\sqrt{3}$ sinC﹣cosB=cos（A﹣C）．

(1)、求角A的度数；

(2)、若a=2 $\sqrt{3}$ ，且△ABC的面积是3 $\sqrt{3}$ ，求b+c．

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19. 已知向量 $\vec{a}$ =（1+cosωx，1）， $\vec{b}$ =（1，a+ $\sqrt{3}$ sinωx）（ω为常数且ω＞0），函数f（x）= $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 在R上的最大值为2．

(1)、求实数a的值；

(2)、把函数y=f（x）的图象向右平移 $\frac{π}{6 ω}$ 个单位，可得函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0， $\frac{π}{4}$ ]上为增函数，求ω的最大值．

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20. 已知函数f（x）=sin（x+ $\frac{π}{6}$ ）+sin（x﹣ $\frac{π}{6}$ ）+acosx+b，（a，b∈R）且均为常数）．

(1)、求函数f（x）的最小正周期；

(2)、若f（x）在区间[﹣ $\frac{π}{3}$ ，0]上单调递增，且恰好能够取到f（x）的最小值2，试求a，b的值．

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21. 对于数列{a_n}、{b_n}，S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n₊₁﹣（n+1）=S_n+a_n+n，a₁=b₁=1，b_n₊₁=3b_n+2，n∈N^* ．

(1)、求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；

(2)、令c_n= $\frac{2 (a_{n} + n)}{n (b_{n} + 1)}$ ，求数列{c_n}的前n项和T_n ．

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22. 已知函数f（x）= $\frac{1 + \ln x}{x}$ ．

(1)、求函数f（x）的单调区间；

(2)、若g（x）=xf（x）+mx在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求m的值；

(3)、若x≥1时，有不等式f（x）≥ $\frac{k}{x + 1}$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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