2016-2017学年河南省焦作市高三上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-01-10 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知i为虚数单位，复数z满足（1﹣i）（z﹣1）=1+i，则z的共轭复数为（）

A、﹣1﹣i B、1﹣i C、1+i D、﹣1+i

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2. 设集合M={1，9，a}，集合P={1，a，2}，若P⊆M，则实数a的取值个数为（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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3. 某校高三年级有1221名同学，现采用系统抽样方法舟曲37名同学做问卷调查，将1221名同学按1，2，3，4，…，1221随机编号，则抽取的37名同学中，标号落入区间[496，825]的人数有（）

A、12人 B、11人 C、10人 D、9分

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4. 已知奇函数f（x）在R上为增函数，且f（1）= $\frac{1}{2}$ ，若实数a满足f（log_a3）﹣f（log_a $\frac{1}{3}$ ）≤1，则实数a的取值范围为（）

A、0＜a≤ $\frac{1}{3}$ B、a≤ $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ ≤a＜1 D、a≥3或0＜a＜1

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5. 已知A₁、A₂分别是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右顶点，点P为椭圆C上一点（与A₁、A₂不重合），若直线PA₁与PA₂的斜率乘积是﹣ $\frac{3}{4}$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6.
如图的程序框图，如果输入的N是9，那么输出的S是（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、﹣1 D、0

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7. 已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中ω＞0，|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ，则f（ $\frac{1}{4}$ ）的值为（）

A、﹣ $\sqrt{3}$ B、﹣1 C、 $\frac{1}{2}$ D、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 已知棱长都是2的直三棱柱的俯视图是一个正三角形，则该直三棱柱的主视图的面积不可能等于（）

A、4 B、2 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{19}{5}$ D、3 $\sqrt{2}$

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9. 若g（x）=x﹣ $\int_{0}^{1}$ g（t）dt﹣ $\frac{3}{2}$ ，则g（x）=（）

A、x+1 B、x﹣1 C、x﹣2 D、x﹣ $\frac{3}{2}$

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10. 若F₁、F₂是双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5}$ =1的左右焦点，M是双曲线右支上一动点，则 $\frac{1}{| M F_{2} |}$ ﹣ $\frac{1}{| M F_{1} |}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、1 D、 $\frac{5}{4}$

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11. 若a、b、m∈Z（m＞0），且a、b除以m所得的余数相同，则a、b是m的同余数．已知x=2C $_{2017}^{1}$ +2²C $_{2017}^{2}$ +…+2²⁰¹⁷C $_{2017}^{2017}$ ，且x、y是10的同余数，则y的值可以是（）

A、2012 B、2019 C、2016 D、2013

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12. 在△ABC中，内角A= $\frac{π}{3}$ ，P为△ABC的外心，若 $\vec{A P}$ =λ₁ $\vec{A B}$ +2λ₂ $\vec{A C}$ ，其中λ₁与λ₂为实数，则λ₁+λ₂的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1﹣ $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1+ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

13. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=1，c= $\sqrt{3}$ ，∠C= $\frac{2 π}{3}$ ，则a= ．

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14. 定义在区间[﹣ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{4}$ ]上的函数f（x）=1+sinxcos2x，在x=θ时取得最小值，则sinθ= ．

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15. 已知整数x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y > 0 \\ 2 x - y - 12 < 0 \\ \sqrt{2} x + 2 y - 6 \sqrt{2} > 0 \end{matrix}$ ，则z=3x+y的最大值为．

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16. 如图甲，在平行四边形ABCD中，AB= $\sqrt{15}$ ，AD= $\sqrt{7}$ ，对角线BD=4，现沿对角线BD把△ABD折起，使点A的位置变成点P，且平面PBD⊥平面BCD如图乙所示，若图乙中三棱锥P﹣BCD的四个顶点在同一个球的球面上，则该球的表面积为．

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三、解答题

17. 已知首项为﹣6的等差数列{a_n}的前7项和为0，等比数列{b_n}满足b₃=a₇ ， |b₃﹣b₄|=6．

(1)、求数列{b_n}的通项公式；

(2)、是否存在正整数k，使得数列{ $\frac{1}{b_{n}}$ }的前k项和大于 $\sqrt{2}$ ？并说明理由．

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18. 如图，在四棱台ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，平面BCC₁B₁⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，四边形BCC₁B₁为等腰梯形，BC=4，B₁C₁=C₁C=2，AB=5，AC⊥BC．

(1)、求证：BC₁⊥平面ACC₁；

(2)、求直线BC₁与平面ADD₁A₁所成的角的正弦值．

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19. 某风景区水面游览中心计划国庆节当日投入之多3艘游船供游客观光，过去10年的数据资料显示每年国庆节当日客流量X（单位：万人）都大于1，并把客流量分成三段整理得下表：
国庆节当日客流量X
1＜X＜3
3≤X≤5
X＞5
频数
2
4
4
以这10年的数据资料记录的隔断客流量的频率作为每年客流量在隔断发生的概率，且每年国庆节当日客流量相互独立．

(1)、求未来连续3年国庆节当日中，恰好有1年国庆节当日客流量超过5万人的概率；

(2)、该水面游览中心希望投入的游船尽可能使用，但每年国庆节当日游船最多使用量：（单位：艘）受当日客流量X（单位：万人）的限制，其关联关系如下表：
国庆节当日客流量X
1＜X＜3
3≤X≤5
X＞5
游船最多使用量
1
2
3
若某艘游船国庆节当日使用，则水面游览中心国庆节当日可获得利润3万元，若某艘游船国庆节当日不使用，则水面游览中心国庆节当日亏损0.5万元，记Y（单位：万元）表示该水面游览中心国庆节当日获得总利润，当Y的数学期望最大时称水面游览中心在国庆节当日效益最佳，问该水面游览中心的国庆节当日应投入多少艘游船才能使该水面游览中心在国庆节当日效益最佳？

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20. 在平面直角坐标系中，动圆经过点M（a﹣2，0），N（a+2，0），P（0，﹣2），其中a∈R．

(1)、求动圆圆心的轨迹E的方程；

(2)、过点P作直线l交轨迹E于不同的两点A、B，直线OA与直线OB分别交直线y=2于两点C、D，记△ACD与△BCD的面积分别为S₁ ， S₂ ．求S₁+S₂的最小值．

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21. 已知函数f（x）=1﹣ax+lnx，（x＞0），函数g（x）满足g（x）=x﹣1，（x∈R）．

(1)、若函数f（x）在x=1时存在极值，求a的值；

(2)、在（1）的条件下，当x＞1时，blnx＜ $\frac{f (x)}{g (x)}$ ，求实数b的取值范围．

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22. 如图，圆O为△ABC的外接圆，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线交AC于点E，∠ACB的平分线交AD于点H．

(1)、求证：CH⊥DE；

(2)、若AE=2CE．证明：DC=2DB．

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23. 在平面直角坐标系中，已知曲线C₁的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 4 \sin^{2} \frac{θ}{2} - 1 \\ y = 2 \sin θ \end{matrix}$ （θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两坐标系取相同的单位长度，曲线C₂的极坐标方程为ρ=﹣2sin（θ+ $\frac{π}{6}$ ）．

(1)、把曲线C₁的参数方程化为极坐标方程；

(2)、求曲线C₁与C₂的交点M（ρ₁ ， θ₁）的极坐标，其中ρ₁≤0，0≤θ₁＜2π．

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24. 已知函数f（x）=|x﹣1|+|3x﹣ $\frac{3}{4}$ |．

(1)、求不等式f（x）＜1的解集；

(2)、若实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0且a+b+c= $\frac{3}{2}$ ．求证： $\frac{b^{2}}{a}$ + $\frac{c^{2}}{b}$ + $\frac{a^{2}}{c}$ ≥ $\frac{3}{2}$ ．

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国庆节当日客流量X	1＜X＜3	3≤X≤5	X＞5
游船最多使用量	1	2	3