2016-2017学年福建省福州市八县（市）一中联考高三上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-01-10 类型：期中考试

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一、选择题

1. 设集合P={3，log₂a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（　　）

A、{3，0} B、{3，0，1} C、{3，0，2} D、{3，0，1，2}

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2. 已知复数 $z = \frac{1 + 3 i}{1 - i}$ ，则下列说法正确的是（）

A、z的共轭复数为﹣1﹣2i B、z的虚部为2i C、|z|=5 D、z在复平面内对应的点在第三象限

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3. 函数f（x）= $\log_{\frac{1}{2}}$ cosx，（﹣ $\frac{π}{2}$ ＜x＜ $\frac{π}{2}$ ）的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 直线y=4x 与曲线y=x³在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、2 D、4

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5. 下列命题中正确的是（）

A、命题p：“∃x₀∈R， $x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 1 < 0$ ”，则命题¬p：∀x∈R，x²﹣2x+1＞0 B、“lna＞lnb”是“2^a＞2^b”的充要条件 C、命题“若x²=2，则 $x = \sqrt{2}$ 或 $x = - \sqrt{2}$ ”的逆否命题是“若 $x \neq \sqrt{2}$ 或 $x \neq - \sqrt{2}$ ，则x²≠2” D、命题p：∃x₀∈R，1﹣x₀＜lnx₀；命题q：对∀x∈R，总有2^x＞0；则p∧q是真命题

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6. 如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC=10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于（）

A、10m B、5 $\sqrt{3}$ m C、5（ $\sqrt{3}$ ﹣1）m D、5（ $\sqrt{3}$ +1）m

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7. 已知数列{a_n}是等比数列，数列{b_n}是等差数列，若a₁•a₅•a₉=﹣8，b₂+b₅+b₈=6π，则 $\cos \frac{b_{4} + b_{6}}{1 - a_{3} \cdot a_{7}}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. △ABC的外接圆的圆心为O，半径为1， $\vec{O A} + \vec{A B} + \vec{A C} = \vec{0}$ 且 $| \vec{O A} | = | \vec{A B} |$ ，则向量 $\vec{C A}$ 在 $\vec{C B}$ 方向上的投影为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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9. 若函数f（x）同时满足以下三个性质；①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x﹣ $\frac{π}{4}$ ）=f（﹣x）；③f（x）在（ $\frac{3 π}{8}$ ， $\frac{π}{2}$ ）上是减函数．则f（x）的解析式可能是（）

A、f（x）=cos（x+ $\frac{π}{8}$ ） B、f（x）=sin2x﹣cos2x C、f（x）=sinxcosx D、f（x）=sin2x+cos2x

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10. 已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1，且a_n ， a_n+1是函数f（x）=x²﹣b_nx+2ⁿ的两个零点，则b₁₀等于（）

A、24 B、32 C、48 D、64

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11. 已知函数f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2^x﹣1，则方程f（x）=log₆（x﹣3）在（0，+∞）解的个数是（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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12. 设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x² ，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）

A、[﹣2，2] B、[2，+∞） C、[0，+∞） D、（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）

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二、填空题

13. 已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x﹣y=0上，则 $\frac{\sin θ + \cos (π - θ)}{\sin (\frac{π}{2} - θ) - \sin (π + θ)}$ = ．

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14. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，公差为d，若 $\frac{S_{2017}}{2017} - \frac{S_{17}}{17} = 100$ ，则d的值为．

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15. 在△ABC中， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 4$ ，sinB=cosAsinC，E为线段AC的中点，则 $\vec{E B} \cdot \vec{E A}$ 的值为．

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16. 对于函数f（x）与g（x）和区间D，如果存在x₀∈D，使|f（x₀）﹣g（x₀）|≤1，则称x₀是函数f（x）与g（x）在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：
①f（x）=x² ， g（x）=2x﹣2；② $f (x) = \sqrt{x}$ ，g（x）=x+2；
③f（x）=e^﹣^x ， $g (x) = - \frac{1}{x}$ ；④f（x）=lnx，g（x）=x．
则在区间（0，+∞）上存在唯一“友好点”的是．（填上所有正确的序号）

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三、解答题

17. 设命题p：函数f（x）=lg（﹣mx²+2x﹣m）的定义域为R；
命题q：函数g（x）=4lnx+ $\frac{1}{2} x^{2}$ ﹣（m﹣1）x的图象上任意一点处的切线斜率恒大于2，
若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．

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18. 已知函数f（x）= $\sqrt{3}$ sinωx﹣cosωx+m（ω＞0，x∈R，m是常数）的图象上的一个最高点 $(\frac{π}{3} ， 1)$ ，且与点 $(\frac{π}{3} ， 1)$ 最近的一个最低点是 $(- \frac{π}{6} ， - 3)$ ．

(1)、求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；

(2)、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = - \frac{1}{2}$ ac，求函数f（A）的值域．

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19. 已知函数f（x）=（2x²﹣3x）•e^x

(1)、求函数f（x）的单调递减区间；

(2)、若方程（2x﹣3）•e^x= $\frac{a}{x}$ 有且仅有一个实根，求实数a的取值范围．

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20. 如图，在△ABC中，AB=2，3acosB﹣bcosC=ccosB，点D在线段BC上．

(1)、若∠ADC= $\frac{3 π}{4}$ ，求AD的长；

(2)、若BD=2DC，△ACD的面积为 $\frac{4}{3} \sqrt{2}$ ，求 $\frac{\sin ∠ B A D}{\sin ∠ C A D}$ 的值．

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21. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），且满足a_n+2S_n=2n+2．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、求证： $\frac{1}{3 (a_{1} - 2) (a_{2} - 2)} + \frac{1}{3^{2} (a_{2} - 2) (a_{3} - 2)} + \dots + \frac{1}{3^{n} (a_{n} - 2) (a_{n + + 1} - 2)} < \frac{3}{4}$ ．

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22. 已知函数f（x）=（2﹣a）lnx+ $\frac{1}{x}$ +2ax（a≤0）．

(1)、当a=0时，求f（x）的极值；

(2)、当a＜0时，讨论f（x）的单调性；

(3)、若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x₁ ， x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x₁）﹣f（x₂）|成立，求实数m的取值范围．

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