2016-2017学年江西省赣州市十三县（市）联考高二上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-01-10 类型：期中考试

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一、选择题

1. 过点（1，﹣3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）

A、x﹣2y﹣7=0 B、2x+y+1=0 C、x﹣2y+7=0 D、2x+y﹣1=0

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2. 高二某班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知4号、18号、46号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）

A、30 B、31 C、32 D、33

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3. 如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、ab＜b² C、﹣ab＜﹣a² D、 $- \frac{1}{a} < - \frac{1}{b}$

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4. 在等比数列{a_n}中，若公比q=2，S₃=7，则S₆的值为（）

A、56 B、58 C、63 D、64

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5. 已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题
①α∥β=l⊥m；
②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β；
④l⊥m⇒α∥β．
其中正确命题的序号是（　　）

A、①②③ B、②③④ C、①③ D、②④

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6. 已知△ABC的三边长为a、b、c，满足直线ax+by+c=0与圆x²+y²=1相离，则△ABC是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、以上情况都有可能

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7. 若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是（　　）

A、[ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ] B、（0， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ] C、（1， $\sqrt{2}$ ] D、（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ]

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8. 执行如图所示的程序框图，输出p的值是（）

A、5 B、1 C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{63}$

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9. 在△ABC中，B= $\frac{π}{4}$ ，BC边上的高等于 $\frac{1}{3}$ BC，则cosA=（）

A、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、﹣ $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、﹣ $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）

A、60 B、72 C、81 D、114

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11. 若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |=|2 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |=2，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上投影的最大值是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、﹣ $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、﹣ $\sqrt{6}$

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12. 圆锥的轴截面SAB是边长为4的正三角形（S为顶点），O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ C、 $\frac{2}{5} \sqrt{7}$ D、 $\sqrt{7}$

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二、填空题

13. 已知变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \leq 1 \\ x + 1 \geq 0 \\ x - y \leq 1 \end{matrix}$ ，则z=2x+y的最大值为．

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14. 如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为．

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15. 在[0，10]上随机的取一个数m，则事件“圆x²+y²=4与圆（x﹣3）²+（y﹣4）²=m²相交”发生的概率．

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16. 已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2 $\sqrt{3}$ ，AB=1，AC=2，∠BAC= $\frac{π}{3}$ ，则球O的表面积为．

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三、解答题

17. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B₁B上，且B₁D⊥A₁F，A₁C₁⊥A₁B₁ ．求证：

(1)、直线DE∥平面A₁C₁F；

(2)、平面B₁DE⊥平面A₁C₁F．

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18. 某重点高中拟把学校打造成新型示范高中，为此制定了学生“七不准”，“一日三省十问”等新的规章制度．新规章制度实施一段时间后，学校就新规章制度随机抽取部分学生进行问卷调查，调查卷共有10个问题，每个问题10分，调查结束后，按分数分成5组：[50，60），60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并作出频率分布直方图与样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．

(1)、求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；

(2)、在选取的样本中，从分数在70分以下的学生中随机抽取2名学生进行座谈会，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[50，60）内的概率．
5
6
7
8
9
3 4
1 2 3 4 5 6 7 8

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19. 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2C﹣3cos（A+B）=1

(1)、求角C的大小；

(2)、若c= $\sqrt{6}$ ，求△ABC周长的最大值．

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20. 已知点P（1，1），过点P动直线l与圆C：x²+y²﹣2y﹣4=0交与点A，B两点．

(1)、若|AB|= $\sqrt{17}$ ，求直线l的倾斜角；

(2)、求线段AB中点M的轨迹方程．

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21. 在如图所示的圆锥中，OP是圆锥的高，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，E是线段AC的中点，D是线段PB的中点，且PO=2，OB=1．

(1)、试在PB上确定一点F，使得EF∥面COD，并说明理由；

(2)、求点A到面COD的距离．

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22. 已知n∈N^* ，设S_n是单调递减的等比数列{a_n}的前n项和，a₁= $\frac{1}{2}$ 且S₂+a₂ ， S₄+a₄ ， S₃+a₃成等差数列．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、记数列{na_n}的前n项和为T_n ，求证：对于任意正整数n， $\frac{1}{2} \leq T_{n} < 2$ ．

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