2016-2017学年江西省抚州市南城一中高二上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-01-10 类型：期中考试

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一、选择题

1. “x＞0”是“ $\sqrt[3]{x^{2}}$ ＞0”成立的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、非充分非必要条件 D、充要条件

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2. 已知五个数3，5，7，4，6，则该样本标准差为（　　）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 已知命题p：∀x₁ ， x₂∈R，（f（x₂）﹣f（x₁））（x₂﹣x₁）≥0，则￢p是（）

A、∃x₁ ， x₂∈R，（f（x₂）﹣f（x₁））（x₂﹣x₁）≤0 B、∀x₁ ， x₂∈R，（f（x₂）﹣f（x₁））（x₂﹣x₁）≤0 C、∃x₁ ， x₂∈R，（f（x₂）﹣f（x₁））（x₂﹣x₁）＜0 D、∀x₁ ， x₂∈R，（f（x₂）﹣f（x₁））（x₂﹣x₁）＜0

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4. 若P（A+B）=1，则事件A与B的关系是（）

A、A，B是互斥事件 B、A，B是对立事件 C、A，B不是互斥事件 D、以上都不对

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5. 与圆（x﹣3）²+（y﹣3）²=8相切，且在x、y轴上截距相等的直线有（）

A、4条 B、3条 C、2条 D、1条

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6. 设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）

A、若l∥α，l∥β，则α∥β B、若l∥α，l⊥β，则α⊥β C、若α⊥β，l⊥α，则l∥β D、若α⊥β，l∥α，则l⊥β

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7. 若 $\vec{a}$ =（2x，1，3）， $\vec{b}$ =（1，﹣2y，9），如果 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 为共线向量，则（）

A、x=1，y=1 B、x= $\frac{1}{2}$ ，y=﹣ $\frac{1}{2}$ C、x= $\frac{1}{6}$ ，y=﹣ $\frac{3}{2}$ D、x=﹣ $\frac{1}{6}$ ，y= $\frac{3}{2}$

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8. 如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M，N，P分别是B₁B，B₁C₁ ， CD的中点，则MN与D₁P所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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9. 如图，G是△ABC的重心， $O A = a ， O B = b ， O C = c$ ，则 $\bar{O G}$ =（）

A、 $\frac{1}{3} \bar{a} + \frac{2}{3} \bar{b} + \frac{2}{3} \bar{c}$ B、 $\frac{2}{3} \bar{a} + \frac{2}{3} \bar{b} + \frac{1}{3} \bar{c}$ C、 $\frac{2}{3} \bar{a} + \frac{2}{3} \bar{b} + \frac{2}{3} \bar{c}$ D、 $\frac{1}{3} \bar{a} + \frac{1}{3} \bar{b} + \frac{1}{3} \bar{c}$

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10. 如图是计算 $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{6}$ +…+ $\frac{1}{20}$ 的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（）

A、i＜10 B、i＞10 C、i＜20 D、i＞20

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11. 现有五个球分别记为A，B，C，D，E，随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，则C或E在盒中的概率是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{9}{10}$

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12. 有以下命题：
①如果向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的关系是不共线；
②O，A，B，C为空间四点，且向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 不构成空间的一个基底，则点O，A，B，C一定共面；
③已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是空间的一个基底，则向量 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ， $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 也是空间的一个基底；
④△ABC中，A＞B的充要条件是sinA＞sinB．
其中正确的命题个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a= ．

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14. 设函数f（x）=x²﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，那么任取一点x₀ ，使f（x₀）≤0的概率为．

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15. 在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的 $\frac{1}{4}$ ，且样本容量为160，则中间一组的频数为．

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16. ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
②在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．
③ ${\begin{matrix} x > 1 \\ y > 2 \end{matrix}$ 是 ${\begin{matrix} x + y > 3 \\ x y > 2 \end{matrix}$ 的充要条件；
④“am²＜bm²”是“a＜b”的充分必要条件．
以上说法中，判断错误的有．

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三、解答题

17. 已知命题p：|m+1|≤2 成立．命题q：方程x²﹣2mx+1=0有实数根．若￢P为假命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

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18. 将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a、b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数﹒图中三角形阴影部分的三个顶点为（0，0）、（4，0）和（0，4）．

(1)、若点P（a，b）落在如图阴影所表示的平面区域（包括边界）的事件记为A，求事件A的概率；

(2)、若点P（a，b）落在直线x+y=m（m为常数）上，且使此事件的概率P最大，求m和P的值﹒

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19. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b+c=16．

(1)、若a=4，b=5，求cosC的值；

(2)、若sinA+sinB=3sinC，且△ABC的面积S=18sinC，求a和b的值．

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20. 如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且2PF=FA．

(1)、求证：BE⊥平面PAC；

(2)、求证：CM∥平面BEF；

(3)、求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值．

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21. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 5 = 0$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 6 x - y - 9 = 0$ ．

(1)、求两圆公共弦所在直线的方程；

(2)、直线ι过点（4，﹣4）与圆C₁相交于A，B两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{6}$ ，求直线ι的方程．

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22. 已知数列{a_n}的前n项和是S_n ，且S_n+ $\frac{1}{3}$ a_n=1（n∈N^*）．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n=log₄（1﹣S_n₊₁）（n∈N^*），T_n= $\frac{1}{b_{1} b_{2}}$ + $\frac{1}{b_{2} b_{3}}$ +…+ $\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，求使T_n≥ $\frac{1007}{2016}$ 成立的最小的正整数n的值．

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