四川省绵阳市2018届高三理数第三次诊断性考试试卷

试卷更新日期：2018-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $\frac{1 + i}{z - i} = i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $z$ =（）

A、1 B、-1 C、 $i$ D、 $- i$

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2. 已知集合 $A = {2 ， 0 ， - 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 > 0}$ ，集合 $P = A \cap B$ ，则集合 $P$ 的子集个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 下表是某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量 $x$ （吨）与相应的生产能耗 $y$ （吨标准煤）的几组对照数据，用最小二乘法得到 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = 0.7 x + \hat{a}$ ，则 $\hat{a} =$ （）

A、0.25 B、0.35 C、0.45 D、0.55

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4. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} 2 x - y \geq 4 \\ x + 2 y \leq 4 \\ y \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 3 x - 2 y$ 的最小值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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5. 执行如图所示的程序框图，若输入 $t \in [- 1 ， 3]$ ，则输出 $s$ 的取值范围是（）

A、 $[e^{- 2} ， 1]$ B、 $[1 ， e]$ C、 $[0 ， 1]$ D、 $[e^{- 2} ， e]$

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6. 甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是（）

A、吉利，奇瑞 B、吉利，传祺 C、奇瑞，吉利 D、奇瑞，传祺

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7. 如图1，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $M$ 是侧棱 $P D$ 上靠近点 $P$ 的四等分点， $P D = 4$ .该四棱锥的俯视图如图2所示，则 $∠ P M A$ 的大小是（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{7 π}{12}$

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8. 在区间 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上随机取一个实数 $x$ ，则事件“ $- 1 \leq \sqrt{3} sin x + cos x \leq \sqrt{2}$ ”发生的概率是（）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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9. 双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0 ）$ 的离心率是 $\sqrt{5}$ ，过右焦点 $F$ 作渐近线 $l$ 的垂线，垂足为 $M$ ，若 $Δ O F M$ 的面积是1，则双曲线 $E$ 的实轴长是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、1 D、2

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10. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，圆 $C_{2} ： {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ $(r > 0)$ 交于不同的 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，给出下列结论：① $a (x_{1} - x_{2}) + b (y_{1} - y_{2}) = 0$ ；② $2 a x_{1} + 2 b y_{1} = a^{2} + b^{2}$ ；③ $x_{1} + x_{2} = a$ ， $y_{1} + y_{2} = b$ .其中正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11. $Δ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $A C = 10$ ， $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C} = 25$ ，点 $P$ 是 $Δ A B C$ 内（包括边界）的一动点，且 $\overset{⇀}{A P} = \frac{3}{5} \overset{⇀}{A B} - \frac{2}{5} λ \overset{⇀}{A C}$ $（ λ \in R ）$ ，则 $| \overset{⇀}{A P} |$ 的最大值是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{37}$ C、 $\sqrt{39}$ D、 $\sqrt{41}$

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12. 对于任意的实数 $x \in [1 ， e]$ ，总存在三个不同的实数 $y \in [- 1 ， 4]$ ，使得 $y^{2} x e^{1 - y} - a x - ln x = 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{16}{e^{3}} ， \frac{3}{e}]$ B、 $(0 ， \frac{16}{e^{3}}]$ C、 $[\frac{16}{e^{3}} ， e^{2} - \frac{3}{e})$ D、 $[\frac{16}{e^{3}} ， e^{2} - \frac{1}{e})$

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二、填空题

13. $(2 - x) {(x - 1)}^{4}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是．

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14. 奇函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 对称， $f (3) = 2$ ，则 $f (1) =$ ．

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15. 已知圆锥的高为3，侧面积为 $20 π$ ，若此圆锥内有一个体积为 $V$ 的球，则 $V$ 的最大值为．

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16. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $B C = 2$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $A C$ 的垂直平分线 $D E$ 与 $A B ， A C$ 分别交于 $D ， E$ 两点，且 $D E = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则 $B E^{2} =$ ．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足： $a_{1} a_{n} = S_{1} + S_{n}$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）若 $a_{n} > 0$ ，数列 ${{log}_{2} \frac{a_{n}}{32}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，试问当 $n$ 为何值时， $T_{n}$ 最小？并求出最小值.

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18. 十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量 $X$ （单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：
将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立.
（Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量 $X \in [270 ， 310)$ 的概率；
（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当 $X \in [230 ， 270)$ 时，没有影响；当 $X \in [270.310)$ 时，经济损失为10万元；当 $X \in [310 ， 350)$ 时，经济损失为60万元.为减少损失，现有三种应对方案：
方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；
方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；
方案三：不采取措施.
试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由.

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19. 如图，在五面体 $A B C D P N$ 中，棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = A P = 2 P N$ .底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = \frac{2 π}{3}$ .

（Ⅰ）求证： $P N ∥ A B$ ；

（Ⅱ）求二面角 $B - D N - C$ 的余弦值.

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20. 如图，椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ， $M F_{2} ⊥ x$ 轴，直线 $M F_{1}$ 交 $y$ 轴于 $H$ 点， $O H = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ， $Q$ 为椭圆 $E$ 上的动点， $Δ F_{1} F_{2} Q$ 的面积的最大值为1.

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $S (4 ， 0)$ 作两条直线与椭圆 $E$ 分别交于 $A 、 B 、 C 、 D$ ，且使 $A D ⊥ x$ 轴，如图，问四边形 $A B C D$ 的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{a}{x} - 4 ln x$ 的两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ 满足 $x_{1} < x_{2}$ ，且 $e < x_{2} < 3$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数.

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、求 $f (x_{2}) - f (x_{1})$ 的取值范围.

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22. 以直角坐标系的原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线 $C$ 的极坐标方程是 $ρ^{2} = \frac{16}{1 + 3 {cos}^{2} θ}$ .
（Ⅰ）求曲线 $C$ 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线 $C$ 与 $x$ 轴正半轴及 $y$ 轴正半轴交于点 $M ， N$ ，在第一象限内曲线 $C$ 上任取一点 $P$ ，求四边形 $O M P N$ 面积的最大值.

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23. 设函数 $f (x) = | x + a | + | x - 3 a |$ .

(1)、若 $f (x)$ 的最小值是4，求 $a$ 的值；

(2)、若对于任意的实数 $x \in R$ ，总存在 $a \in [- 2 ， 3]$ ，使得 $m^{2} - 4 | m | - f (x) \leq 0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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