山西省孝义市2018届高三下学期理数一模考试试卷

试卷更新日期：2018-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | (x - 1) (x + 2) < 0}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知复数 $z = \frac{2 + 4 i}{1 - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的共轭复数在复平面对应的点的坐标是（）

A、 $(3 ， 3)$ B、 $(- 1 ， 3)$ C、 $(3 ， - 1)$ D、 $(- 1 ， - 3)$

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3. 一次考试中，某班学生的数学成绩 $X$ 近似服从正态分布 $N (100 ， 100)$ ，则该班数学成绩的及格率可估计为（成绩达到 $90$ 分为及格）（参考数据： $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.68$ ）（）

A、 $60 %$ B、 $68 %$ C、 $76 %$ D、 $84 %$

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4. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{- x} - 2 ， x < 0 \\ g (x) ， x > 0 \end{matrix}$ 为奇函数，则 $f (g (2)) =$ （）

A、-2 B、2 C、-1 D、1

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5. 已知点 $P$ 是直线 $x + y - b = 0$ 上的动点，由点 $P$ 向圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 引切线，切点分别为 $M$ ， $N$ ，且 $∠ M P N = 90^{\circ}$ ，若满足以上条件的点 $P$ 有且只有一个，则 $b =$ （）

A、 $2$ B、 $\pm 2$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{2}$

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6. 已知不等式组 ${\begin{matrix} x - 2 y + 1 \geq 0 ， \\ x \leq 2 ， \\ x + y - 1 \geq 0 \end{matrix}$ 表示的平面区域为 $D$ ，若函数 $y = | x - 1 | + m$ 的图象上存在区域 $D$ 上的点，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $[- 2 ， \frac{1}{2}]$ C、 $[- 2 ， 1]$ D、 $[- 1 ， \frac{3}{2}]$

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7. 某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为 $1$ ，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{28}{3} π$ B、 $\frac{32}{3} π$ C、 $\frac{52}{3} π$ D、 $\frac{56}{3} π$

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8. 设 ${(1 - 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，若 $a_{3} + a_{4} = 0$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $- 32$ B、 $64$ C、 $- 128$ D、 $256$

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9. 执行如图所示的程序框图，输出的值是（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $0$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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10. 设 $P$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 上的点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右焦点，且 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $P F_{1}$ 与 $y$ 轴交于点 $Q$ ， $O$ 为坐标原点，若四边形 $O F_{2} P Q$ 有内切圆，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $3$

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11. 在四面体 $A B C D$ 中， $A B = A C = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 6$ ， $A D ⊥$ 底面 $A B C$ ， $G$ 为 $Δ D B C$ 的重心，且直线 $D G$ 与平面 $A B C$ 所成的角是 $30^{\circ}$ ，若该四面体 $A B C D$ 的顶点均在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的表面积是（）

A、 $24 π$ B、 $32 π$ C、 $46 π$ D、 $49 π$

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12. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $\frac{π}{9}$ ，前 $8$ 项和为 $6 π$ ，记 $tan \frac{π}{9} = k$ ，则数列 ${tan a_{n} tan a_{n + 1}}$ 的前 $7$ 项和是（）

A、 $\frac{7 k^{2} - 3}{k^{2} - 1}$ B、 $\frac{3 - 7 k^{2}}{k^{2} - 1}$ C、 $\frac{11 - 7 k^{2}}{k^{2} - 1}$ D、 $\frac{7 k^{2} - 11}{k^{2} - 1}$

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二、填空题

13. 问题“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”源自南北朝张邱建所著的《张邱建算经》，该问题的答案是．

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14. 已知向量 $a$ 与 $b$ 的夹角是 $\frac{5 π}{6}$ ，且 $| a | = | a + b |$ ，则向量 $a$ 与 $a + b$ 的夹角是．

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15. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} sin \frac{ω x}{2} cos \frac{ω x}{2} + 2 {cos}^{2} \frac{ω x}{2} (ω > 0)$ 的周期为 $\frac{2 π}{3}$ ，当 $x \in [0 ， \frac{π}{3}]$ 时，函数 $g (x) = f (x) + m$ 恰有两个不同的零点，则实数 $m$ 的取值范围是．

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16. 当 $x > 1$ ，不等式 $(x - 1) e^{x} + 1 > a x^{2}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c cos B + b cos C = 2 a cos A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $sin B sin C = {sin}^{2} A$ ， $D$ 为 $B C$ 边上一点，且 $B D = \frac{1}{3} B C$ ，求 $A D$ 的长.

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18. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B C A = 90^{\circ}$ ， $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ .

(1)、证明： $B C ⊥ A A_{1}$ ；

(2)、若 $B C = A C$ ， $A_{1} A = A_{1} C$ ，求二面角 $B_{1} - A_{1} B - C$ 的余弦值.

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19. 某大型商场去年国庆期间累计生成 $2$ 万张购物单，从中随机抽出 $100$ 张，对每单消费金额进行统计得到下表：
消费金额（单位：元）
$(0 ， 200]$
$(200 ， 400]$
$(400 ， 600]$
$(600 ， 800]$
$(800 ， 1000]$
购物单张数
25
25
30

由于工作人员失误，后两栏数据无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率，完成下列问题：

(1)、估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过 $800$ 元的概率；

(2)、为鼓励顾客消费，该商场计划在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过 $600$ 元者，可抽奖一次.抽奖规则为：从装有大小材质完全相同的 $5$ 个红球和 $5$ 个黑球的不透明口袋中，随机摸出 $4$ 个小球，并记录两种颜色小球的数量差的绝对值 $X$ ，当 $X = 4 ， 2 ， 0$ 时，消费者可分别获得价值 $500$ 元、 $200$ 元和 $100$ 元的购物券.求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望.

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20. 已知抛物线 $E ： x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ， $P (a ， 0)$ 为 $x$ 轴上的点.

(1)、当 $a \neq 0$ 时，过点 $P$ 作直线 $l$ 与 $E$ 相切，求切线 $l$ 的方程；

(2)、存在过点 $P$ 且倾斜角互补的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，若 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与 $E$ 分别交于 $A$ ， $B$ 和 $C$ ， $D$ 四点，且 $Δ F A B$ 与 $Δ F C D$ 的面积相等，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = m ln x$ .

(1)、讨论函数 $F (x) = f (x) + \frac{1}{x} - 1$ 的单调性；

(2)、定义：“对于在区域 $D$ 上有定义的函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ ，若满足 $f (x) \leq g (x)$ 恒成立，则称曲线 $y = g (x)$ 为曲线 $y = f (x)$ 在区域 $D$ 上的紧邻曲线”.试问曲线 $y = f (x + 1)$ 与曲线 $y = \frac{x}{x + 1}$ 是否存在相同的紧邻直线，若存在，请求出实数 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{16}{1 + 3 {sin}^{2} θ}$ ， $P$ 为曲线 $C$ 上的动点， $C$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、求线段OP中点Q的轨迹参数方程；

(2)、若M是（1）中点Q的轨迹上的动点，求△MAB面积的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 2 | - 2 | x - 1 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) \leq 1$ ；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) > a x$ 只有一个正整数解，求实数 $a$ 的取值范围.

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消费金额（单位：元）	$(0 ， 200]$	$(200 ， 400]$	$(400 ， 600]$	$(600 ， 800]$	$(800 ， 1000]$
购物单张数	25	25	30