2016-2017学年福建省福州市八县（市）一中联考高二上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-01-10 类型：期中考试

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一、选择题

1. 数列 $\frac{1}{2} ， - \frac{1}{4} ， \frac{1}{8} ， - \frac{1}{16} ， ...$ 的一个通项公式可能是（）

A、（﹣1）ⁿ $\frac{1}{2 n}$ B、（﹣1）ⁿ $\frac{1}{2^{n}}$ C、（﹣1）ⁿ^﹣¹ $\frac{1}{2 n}$ D、（﹣1） $^{n - 1} \frac{1}{2^{n}}$

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2. 已知△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，a= $\sqrt{2}$ ，b= $\sqrt{3}$ ，B=60°，那么∠A等于（）

A、135° B、45° C、135°或45° D、60°

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3. 设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、a＞b² D、a²＞2b

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4. 已知点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）

A、a＜﹣2，或a＞7 B、﹣2＜a＜7 C、﹣7＜a＜2 D、a=﹣2，或a=7

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5. 在△ABC中，sin²A≤sin²B+sin²C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）

A、（0， $\frac{π}{6}$ ] B、[ $\frac{π}{6}$ ，π） C、（0， $\frac{π}{3}$ ] D、[ $\frac{π}{3}$ ，π）

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6. 设等比数列{a_n}的前n项和记为S_n ，若S₄=2，S₈=6，则S₁₂等于（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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7. 如图，在限速为90km/h的公路AB旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为80m，距测速区终点B的距离为50m，且∠APB=60°．现测得某辆汽车从A点行驶到B点所用的时间为3s，则此车的速度介于（）

A、16～19m/s B、19～22m/s C、22～25m/s D、25～28m/s

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8. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，若 $\frac{\cos A}{\cos B} = \frac{b}{a}$ ，且4sinA=3sinB则△ABC的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形或直角三角形 D、钝角三角形

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9. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）
甲
乙
原料限额
A（吨）
3
2
12
B（吨）
1
2
8

A、12万元 B、16万元 C、17万元 D、18万元

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10. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a₅=5，S₅=15，则数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前2016项和为（）

A、 $\frac{2016}{2017}$ B、 $\frac{2017}{2016}$ C、 $\frac{2015}{2017}$ D、 $\frac{2015}{2016}$

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11. 定义算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则实数a的取值范围是（）

A、﹣1＜a＜1 B、0＜a＜2 C、 $- \frac{3}{2} < a < \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$

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12. 等差数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n、T_n ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{7 n + 45}{n - 3}$ ，则使得 $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ 为整数的正整数的n的个数是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、填空题

13. 已知△ABC中，AC= $\sqrt{3}$ ，AB=2，∠B=60°，则BC= ．

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14. 在各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁=2，且a₂ ， a₄+2，a₅成等差数列，记S_n是数列{a_n}的前n项和，则S₅= ．

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15. 设实数x，y满足条件 ${\begin{matrix} x - y + 2 \leq 0 \\ 2 x - y - 4 \leq 0 \\ x \geq 0 ， y \geq 0 \end{matrix}$ ，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则 $\frac{3}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为．

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16. 设S_n为数列{a_n}的前n项和，若 $\frac{S_{2 n}}{S_{n}}$ （n∈N⁺）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{C_n}是首项为2，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{C_n}是“和等比数列”，则d= ．

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三、解答题

17.
如图，平面四边形ABCD中，AB= $\sqrt{5}$ ，AD=2 $\sqrt{2}$ ，CD= $\sqrt{3}$ ，∠CBD=30°，∠BCD=120°．

(1)、求BD的长；

(2)、求∠ADC的度数．

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18. 连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm²（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．

(1)、若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；

(2)、要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？

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19. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．

(1)、求角C的值；

(2)、若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．

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20. 已知f（x）=ax²+x﹣a．a∈R

(1)、若不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求a，b的值；

(2)、若a＜0，解不等式f（x）＞1．

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21. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知a₁=1，S_n₊₁=4a_n+2（n∈N^*）．

(1)、设b_n=a_n₊₁﹣2a_n ，证明数列{b_n}是等比数列（要指出首项、公比）；

(2)、若c_n=nb_n ，求数列{c_n}的前n项和T_n ．

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22. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，对任意的n∈N^* ，点（n，S_n）恒在函数y= $\frac{3}{2} x^{2} + \frac{3}{2}$ x的图象上．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、记T_n= $\frac{a_{n} \cdot a_{n + 1}}{2^{n}}$ ，若对于一切的正整数n，总有T_n≤m成立，求实数m的取值范围；

(3)、设K_n为数列{b_n}的前n项和，其中b_n=2^an ，问是否存在正整数n，t，使 $\frac{K_{n} - t b_{n}}{K_{n + 1} - t b_{n + 1}} < \frac{1}{16}$ 成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由．

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	甲	乙	原料限额
A（吨）	3	2	12
B（吨）	1	2	8