山东省潍坊市2018届高三第二次高考理数模拟考试卷

试卷更新日期：2018-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < 1}$ ， $B = {x | e^{x} < 1}$ ，则（）

A、 $A \cap B = {x | x < 1}$ B、 $A \cup B = {x | x < e}$ C、 $A \cup C_{R} B = R$ D、 $C_{R} A \cap B = {x | 0 < x < 1}$

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2. 设有下面四个命题
$P_{1}$ ：若复数 $z$ 满足 $z = \bar{z}$ ，则 $z \in R$ ；
$P_{2}$ ：若复数 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 满足 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ 或 $z_{1} = - z_{2}$ ；
$P_{3}$ ：若复数 $z_{1} = {\bar{z}}_{2}$ ，则 $z_{1} \cdot z_{2} \in R$ ；
$P_{4}$ ：若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $z_{1} + z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} \in R$ ， $z_{2} \in R$
其中的真命题为（）

A、 $P_{1}$ ， $P_{3}$ B、 $P_{2}$ ， $P_{4}$ C、 $P_{2}$ ， $P_{3}$ D、 $P_{1}$ ， $p_{4}$

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3. 已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数解析式可能为（）

A、 $y = x + \frac{cos x}{x}$ B、 $y = x^{2} + \frac{sin x}{x}$ C、 $y = x - \frac{cos x}{x}$ D、 $y = x - \frac{sin x}{x}$

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4. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = - n^{2} - n$ ，则数列 ${\frac{2}{(n + 1) a_{n}}}$ 的前40项的和为（）

A、 $\frac{39}{40}$ B、 $- \frac{39}{40}$ C、 $\frac{40}{41}$ D、 $- \frac{40}{41}$

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5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$ C、 $\frac{4}{3} π$ D、 $4 \sqrt{3} π$

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6. 执行如图所示程序框图，则输出的结果为（）

A、 $- 6$ B、 $- 4$ C、 $4$ D、 $6$

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7. 若将函数 $y = cos ω x (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后与函数 $y = sin ω x$ 的图象重合，则 $ω$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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8. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 、 $E$ 分别在 $A B$ 、 $A C$ 上， $D E / / B C$ ， $A D = \sqrt{3} B D$ ，将 $Δ A D E$ 沿 $D E$ 折起，连接 $A B$ ， $A C$ ，当四棱锥 $A - B C E D$ 体积最大时，二面角 $A - B C - D$ 的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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9. 已知函数 $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有 $1$ 个零点 B、 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上为减函数 C、 $y = f (x)$ 的图象关于 $(1 ， 0)$ 点对称 D、 $f (x)$ 有 $2$ 个极值点

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10. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（）

A、 $120$ 种 B、 $156$ 种 C、 $188$ 种 D、 $240$ 种

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11. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通 $6$ 座以下私家车投保交强险的基准保费为 $a$ 元，在下一年续保时，实行费率浮动机制，保费与车辆发生道路交通事故出险的情况想联系，最终保费 $=$ 基准保费 $\times$ （ $1 +$ 与道路交通事故相联系的浮动比率），具体情况如下表：
为了解某一品牌普通 $6$ 座以下私家车的投保情况，随机抽取了 $100$ 辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：
类型
$A_{1}$
$A_{2}$
$A_{3}$
$A_{4}$
$A_{5}$
$A_{6}$
数量
$20$
$10$
$10$
$38$
$20$
$2$
若以这 $100$ 辆该品牌的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，则随机抽取一辆该品牌车在第四年续保时的费用的期望为（）

A、 $a$ 元 B、 $0.958 a$ 元 C、 $0.957 a$ 元 D、 $0.956 a$ 元

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12. 设 $P$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 右支上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为该双曲线的左右焦点， $c$ ， $e$ 分别表示该双曲线的半焦距和离心率.若 $\overset{⇀}{P F_{1}} \cdot \overset{⇀}{P F_{2}} = 0$ ，直线 $P F_{2}$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，则 $Δ A F_{1} P$ 的内切圆的半径为（）

A、 $a$ B、 $b$ C、 $c$ D、 $e$

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二、填空题

13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为.

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14. 在等腰 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 6$ ，点 $D$ 为边 $B C$ 的中心，则 $\overset{⇀}{A B} • \overset{⇀}{B D} =$ ．

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15. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x + y - 1 \leq 0 \\ x + 2 y + 1 \geq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x - 3 y$ 的最大值为．

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16. 设函数 $f (x) (x \in R)$ 满足 $f (x - π) = f (x) - sin x$ ，当 $- π < x \leq 0$ 时， $f (x) = 0$ ，则 $f (\frac{2018 π}{3}) =$ .

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三、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{n} > 0 (n \in N^{*})$ ， $S_{6} + a_{6}$ 是 $S_{4} + a_{4}$ ， $S_{5} + a_{5}$ 的等差中项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {log}_{\frac{1}{2}} a_{2 n - 1}$ ，数列 ${\frac{2}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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18. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C$ ， $A A_{1} = D A_{1}$ ， $∠ A B C = 120^{\circ}$ .

(1)、证明： $A D ⊥ B A_{1}$ ；

(2)、若 $A D = D A_{1} = 4$ ， $B A_{1} = 2 \sqrt{6}$ ，求多面体 $B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积.

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19. “微信运动”是手机 $A P P$ 推出的多款健康运动软件中的一款，杨老师的微信朋友圈内有 $600$ 位好友参与了“微信运动”，他随机选取了 $40$ 位微信好友（女 $20$ 人，男 $20$ 人），统计其在某一天的走路步数.其中，女性好友的走路步数数据记录如下：
5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 9860
8753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980
男性好友走路的步数情况可分为五个类别： $A (0 - 2000$ 步)(说明：“ $0 - 2000$ ”表示大于等于 $0$ ，小于等于 $2000$ .下同)， $B (2000 - 5000$ 步)， $C (5001 - 8000$ 步)， $C (8001 - 10000$ 步)， $E (10001$ 步及以 $E$ )，且 $B ， D ， E$ 三种类别人数比例为 $1 ： 3 ： 4$ ，将统计结果绘制如图所示的条形图.
若某人一天的走路步数超过 $8000$ 步被系统认定为“卫健型"，否则被系统认定为“进步型”.
附： $κ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635

(1)、若以杨老师选取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的 $600$ 名好友中，每天走路步数在 $5001 ~ 10000$ 步的人数；

(2)、请根据选取的样本数据完成下面的 $2 \times 2$ 列联表并据此判断能否有 $95 %$ 以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关?

卫健型
进步型
总计
男

20
女

20
总计

40

(3)、若从杨老师当天选取的步数大于10000的好友中按男女比例分层选取 $5$ 人进行身体状况调查，然后再从这 $5$ 位好友中选取 $2$ 人进行访谈，求至少有一位女性好友的概率.

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20. 已知平面上动点 $P$ 到点 $F (\sqrt{3} ， 0)$ 的距离与到直线 $x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 的距离之比为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、设 $M (m ， n)$ 是曲线 $E$ 上的动点，直线 $l$ 的方程为 $m x + n y = 1$ .
①设直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 交于不同两点 $C$ ， $D$ ，求 $| C D |$ 的取值范围；
②求与动直线 $l$ 恒相切的定椭圆 $E^{'}$ 的方程；并探究：若 $M (m ， n)$ 是曲线 $Γ$ ： $A x^{2} + B y^{2} = 1 (A \cdot B \neq 0)$ 上的动点，是否存在直线 $l$ ： $m x + n y = 1$ 恒相切的定曲线 $Γ^{'}$ ？若存在，直接写出曲线 $Γ^{'}$ 的方程；若不存在，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = (x - a) e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} + a (a - 1) x . (x \in R)$

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线为 $l$ ， $l$ 与 $x$ 轴的交点坐标为 $(2 ， 0)$ ，求 $a$ 的值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + 2 c o s θ \\ y = 2 s i n θ \end{matrix}$ ，（ $θ$ 为参数）， $M$ 为曲线 $C_{1}$ 上的动点，动点 $P$ 满足 $\overset{⇀}{O P} = a \overset{⇀}{O M}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）， $P$ 点的轨迹为曲线 $C_{2}$ .

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的方程，并说明 $C_{2}$ 是什么曲线；

(2)、在以坐标原点为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， $A$ 点的极坐标为 $(2 ， \frac{π}{3})$ ，射线 $θ = α$ 与 $C_{2}$ 的异于极点的交点为 $B$ ，已知 $Δ A O B$ 面积的最大值为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ，求 $a$ 的值.

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23. 已知 $f (x) = | x + 1 | + | x - m |$ .

(1)、若 $f (x) \geq 2$ ，求 $m$ 的取值范围；

(2)、已知 $m > 1$ ，若 $\exists x \in (- 1 ， 1)$ 使 $f (x) \geq x^{2} + m x + 3$ 成立，求 $m$ 的取值范围.

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类型	$A_{1}$	$A_{2}$	$A_{3}$	$A_{4}$	$A_{5}$	$A_{6}$
数量	$20$	$10$	$10$	$38$	$20$	$2$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635

	卫健型	进步型	总计
男			20
女			20
总计			40