山东、湖北部分重点中学2018届高三高考理数冲刺模拟考试（一）

试卷更新日期：2018-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {x \in N | \frac{x + 1}{x - 5} \leq 0} ， A= {1 ， 2 ， 4} ，则 C u A =$ （）

A、{3} B、{0，3，5} C、{3，5} D、{0，3}

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2. 已知i为虚数单位，现有下面四个命题
p₁：复数z₁=a+bi与z₂=－a+bi ，（a，b $\in R$ ）在复平面内对应的点关于实轴对称；
p₂：若复数z满足(1-i)z=1+i，则z为纯虚数；
p₃：若复数z₁ ， z₂满意z₁z₂ $\in R$ ，则z₂= $\bar{z_{1}}$ ；
p₄：若复数z满足z²+1=0，则z＝±i.
其中的真命题为（）

A、p₁ ， p₄ B、p₂ ， p₄ C、p₁ ， p₃ D、p₂ ， p₃

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3. 已知 $p ： a > 2 ， q ： \forall x \in R ， x^{2} + a x + 1 \geq 0 是假命题，则 p 是 q 的$ （）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩 $ξ$ 服从N（80， $σ$ ²）( $σ$ >0)，若 $ξ$ 在(70，90)内的概率为0.8，则落在[90，100]内的概率为（）

A、0.05 B、0.1 C、0.15 D、0.2

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5. 某几何体的三视图是网络纸上图中粗线画出的部分，已知小正方形的边长为1，则该几何体中棱长的最大值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{13}$ D、4

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6. 要使程序框图输出的S=2cos $π + 2^{3} cos 3 π + \cdot \cdot \cdot + 2^{99} cos 99 π ，$ 则判断框内（空白框内）可填入（）

A、 $n < 99$ B、 $n < 100$ C、 $n \geq 99$ D、 $n \geq 100$

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7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的第6项是二项式 ${(x - \frac{2}{x} + y)}^{6}$ 展开式的常数项，则 $a_{2} + a_{10}$ =（）

A、160 B、－160 C、320 D、－320

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8. 将函数 $y = sin (x - \frac{π}{3})$ 的图象按以下次序变换：①纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，②向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $y = f (x)$ 的图象，则函数 $y = \frac{f (x)}{f' (x)}$ 在区间 $[0 ， 2 π]$ 上的对称中心为（）

A、 $(π ， 0) ， (2 π ， 0)$ B、 $(π ， 0)$ C、 $(0 ， 0) ， (π ， 0)$ D、 $(0 ， 0) ， (π ， 0) ， (2 π ， 0)$

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9. 已知点P是双曲线C： $\frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ 的一条渐近线上一点，F₁、F₂是双曲线的下焦点和上焦点，且以F₁F₂为直径的圆经过点P，则点P到y轴的距离为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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10. 已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若动点P满足 $\overset{⇀}{O P} = \overset{⇀}{O A} + λ (\frac{\overset{⇀}{A B}}{| \overset{⇀}{A B} | sin B} + \frac{\overset{⇀}{A C}}{| \overset{⇀}{A C} | sin C}) ， λ \in (0 ， + \infty) ，$ 则点P的轨迹一定通过△ABC的（）

A、内心 B、外心 C、重心 D、垂心

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11. 设直线 $y = 4 x - 3$ 与椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 交于A、B两点，过A、B两点的圆与E交于另两点C、D，则直线CD的斜率为（）

A、－ $\frac{1}{4}$ B、－2 C、 $\frac{1}{4}$ D、－4

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12. 若函数 $f (x) = a x + ln x - \frac{x^{2}}{x - ln x}$ 有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(1 ， \frac{e}{e - 1} - \frac{1}{e})$ B、 $[1 ， \frac{e}{e - 1} - \frac{1}{e}]$ C、 $(\frac{1}{e} - \frac{e}{e - 1} ， - 1)$ D、 $[\frac{1}{e} - \frac{e}{e - 1} ， - 1]$

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二、填空题

13. 设命题 $p ： \exists n \in N ， n^{2} > 4^{n} ，则 \neg p 为$ .

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14. 直线 $x + y sin α - 3 = 0 (α \in R)$ 的倾斜角的取值范围是.

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15. 设实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x + 2 y - 5 \geq 0 ， \\ x - y - 2 \leq 0 ， \\ y - 2 \leq 0 ， \end{matrix} 则 2^{\frac{x}{x + y}}$ 的最小值是.

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16. 已知G为△ABC的重心，点M，N分别在边AB，AC上，满足 $\overset{⇀}{A G} = x \overset{⇀}{A M} + y \overset{⇀}{A N} ，$ 其中 $x + y = 1. 若 \overset{⇀}{A M} = \frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} ，$ 则△ABC和△AMN的面积之比为.

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三、解答题

17. 在等差数列 ${a_{n}} 中， a_{5} = 0 ， a_{10} = 10.$
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 ${b_{n}} 满足 b_{n} = {(\frac{1}{2})}^{a_{n} + 10}$ ，求数列 ${n b_{n}}$ 的前n项和S_n.

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18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PCD，PD⊥CD，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2AB， $Q$ 为棱PC上一点.
(Ⅰ)若点 $Q$ 是PC的中点，证明：B $Q$ ∥平面PAD；
(Ⅱ) $\overset{⇀}{P Q} = λ \overset{⇀}{P C} ，$ 试确定 $λ$ 的值使得二面角 $Q$ -BD-P为60°.

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19. 《中华人民共和国民法总则》（以下简称《民法总则》）自2017年10月1日起施行。作为民法典的开篇之作，《民法总则》与每个人的一生息息相关.某地区为了调研本地区人们对该法律的了解情况，随机抽取50人，他们的年龄都在区间[25，85]上，年龄的频率分布及了解《民法总则》的人数如下表：
年龄
[25，35)
[35，45)
[45，55)
[55，65)
[65，75)
[75，85)
频数
5
5
10
15
5
10
了解《民法总则》
1
2
8
12
4
5

(1)、填写下面2×2 列联表，并判断是否有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异；

(2)、若对年龄在[45，55），[65，75）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解《民法总则》的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点与抛物线 $E ： x = \frac{\sqrt{3}}{12} y^{2}$ 的焦点相同，A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆与直线 $y = \frac{b}{a} x$ 相交于P， $Q$ 两点，且 $\overset{⇀}{A P} \cdot \overset{⇀}{A Q} = 0 ， \overset{⇀}{O P} = 3 \overset{⇀}{O Q} .$

(1)、求椭圆C的标准方程和圆A的方程；

(2)、不过原点的直线 $l$ 与椭圆C交于M、N两点，已知OM，直线 $l$ ，ON的斜率 $k_{1} ， k ， k_{2}$ 成等比数列，记以OM、ON为直径的圆的面积分别为S₁、S₂ ，试探究 $S_{1} + S_{2}$ 的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = x ln x ， g (x) = \frac{a}{2} x^{2} + x - a (a \in R) .$

(1)、若直线 $x = t (t > 0) 与曲线 y = f (x) 和 y = g (x) 分别交于 A ， B 两点，$ 且曲线 $y = f (x)$ 在A处的切线与 $y = g (x)$ 在B处的切线相互平行，求a的取值范围；

(2)、设 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在其定义域内有两个不同的极值点 $x_{1} ， x_{2} ，$ 且 $x_{1} 〈 x_{2} . 已知 λ 〉 0 ，$ 若不等式 $e^{1 + λ} < x_{1} \cdot x_{2}^{λ}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - \frac{1}{2} t ， \\ y = 3 \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} t ， \end{matrix} (t 为参数) ，$
以O为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 $ρ = 2 cos θ ，射线$
$O M ： θ = \frac{π}{3} (ρ \geq 0)$ 与圆C交于点O，P，与直线 $l$ 交于点Q.

(1)、求直线 $l$ 的极坐标方程；

(2)、求线段PQ的长度.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | - 2 | x | .$

(1)、求不等式 $f (x) \leq - 6 的解集；$

(2)、若 $f (x)$ 的图像与直线 $y = a$ 围成图形的面积不小于14，求实数a的取值范围.

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年龄	[25，35)	[35，45)	[45，55)	[55，65)	[65，75)	[75，85)
频数	5	5	10	15	5	10
了解《民法总则》	1	2	8	12	4	5