普通高等学校招生全国统一考试2018届高三下学期文数第二次调研试卷

试卷更新日期：2018-06-14 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - \frac{1}{2} < x < 2} ， B = {x | x^{2} \leq 1} ，则 A \cup^{} B =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x < 2}$ B、 ${x | - \frac{1}{2} < x \leq 1}$ C、 ${x | x < 2}$ D、 ${x | 1 \leq x < 2}$

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2. 已知 $(1 + 2 i) i = a + b i$ （i是虚数单位， $a ， b \in R$ ），则 $a + b =$ （）

A、 $- 3$ B、3 C、1 D、 $- 1$

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3. 已知 $l ， m$ 是两条不同的直线， $α$ 是一个平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $l / / α ， m \subset α ，则 l / / m$ B、若 $l / / α ， m / / α ，则 l / / m$ C、若 $l ⊥ m ， m \subset α ，则 l ⊥ α$ D、若 $l ⊥ α ， l / / m ，则 m ⊥ α$

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4. 在下列双曲线方程中，表示焦点在y轴上且渐近线方程为 $y = \pm 3 x$ 的是（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} - y^{2} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{9} - x^{2} = 1$ D、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{9} = 1$

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5. 某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示：
根据表中数据得 $K^{2} = \frac{775 \times {(20 \times 450 - 5 \times 300)}^{2}}{25 \times 750 \times 320 \times 455} \approx 15.968 ，由 K^{2} \geq 10.828$ ，断定秃发与患有心脏病有关，那么这种判断出错的可能性为（）

A、0.1 B、0.05 C、0.01 D、0.001

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6. 执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、4

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7. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) ，且 f (\frac{π}{3} + x) = - f (\frac{π}{3} - x) ， f (\frac{π}{6} + x) =$ $f (\frac{π}{6} - x)$ ，则实数 $ω$ 的值可能是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

A、9 B、 $\frac{27}{2}$ C、18 D、27

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9. 关于圆周率 $π$ ，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 $π$ 的值：先请120名同学每人随机写下一个 $x ， y$ 都小于1的正实数对 $(x ， y)$ ，再统计其中 $x ， y$ 能与1构成钝角三角形三边的数对 $(x ， y)$ 的个数m，最后根据统计个数m估计 $π$ 的值.如果统计结果是 $m = 34$ ，那么可以估计 $π$ 的值为（）

A、 $\frac{22}{7}$ B、 $\frac{47}{15}$ C、 $\frac{51}{16}$ D、 $\frac{53}{17}$

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10. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x (a > 0 ， b > 0)$ 的图像在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线的斜率为2，则 $\frac{8 a + b}{a b}$ 的最小值是（）

A、10 B、9 C、8 D、 $3 \sqrt{2}$

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11. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，且两条曲线在第一象限的交点为P， $Δ P F_{1} F_{2}$ 是以 $P F_{1}$ 为底边的等腰三角形.若 $| P F_{1} | = 10$ ，椭圆与双曲线的离心率分别为 $e_{1} ， e_{2} ，则 e_{1} e_{2} + 1$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(\frac{4}{3} ， + \infty)$ C、 $(\frac{6}{5} ， + \infty)$ D、 $(\frac{10}{9} ， + \infty)$

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12. 已知定义在R上的函数 $f (x) 满足 f (1) = 1 ，且 f^{'} (x) > \frac{1}{2}$ 恒成立，则不等式 $f (x^{2}) < \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup^{} (1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 1)$

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二、填空题

13. 已知向量 $a ， b$ 满足 $a = (2 ， 0) ， | b | = 1 ， | a + b | = \sqrt{3}$ ，则向量 $a ， b$ 所成的角为.°

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14. 已知实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y = 4 ， \\ x \leq 2 y ， \\ x \geq 1 ， \end{matrix} 若 z = x - 3 y + 1$ ，则实数z的最大值是.

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15. 已知P是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的动点，点Q在圆 $C ： {(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 上，点R是点P在y轴上的射影，则 $| P Q | + | P R |$ 的最小值是.

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16. 在 $Δ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为 $a ， b ， c ，且 {sin}^{2} \frac{B - C}{2} + sin B sin C = \frac{1}{4} ，$ $b + c = 2$ ，则实数a的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且对任意正整数n都有 $S_{n} = \frac{a_{n} - 1}{λ} (λ \neq 0 ， 1)$ .

(1)、求证： ${a_{n}}$ 为等比数列.

(2)、若 $λ = \frac{1}{2} ，且 b_{n} = \frac{1}{{log}_{4} a_{n} \cdot {log}_{4} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 炼钢是一个氧化降碳的过程，由于钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.现已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y（从炉料熔化完毕到出钢的时间）的一组数据，如下表所示：

(1)、据统计表明， $y 与 x$ 之间具有线性相关关系，请用相关系数r加以说明（ $若 | r | \geq 0.75$ ，则认为y与x有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系，r精确到0.001）；

(2)、建立y关于x的回归方程（回归系数的结果精确到0.01）；

(3)、根据（2）中的结论，预测钢水含碳量为160个0.01%的冶炼时间.
参考公式：回归方程 $y = b x + a$ 中斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ，
$\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2} (\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2})}} .$
参考数据： $\bar{x} = 159.8 ， \bar{y} = 172 ， \sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 265_{} 448 ， \sum_{i = 1}^{10} y_{i}^{2} = 312_{} 350 ， \sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i} = 287_{} 640$ ，
$\sqrt{(\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} - 10 {\bar{x}}^{2}) (\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} - 10 {\bar{y}}^{2})} = 12_{} 905$ .

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19. 如图，四边形ABCD为梯形，AB//CD， $P D ⊥$ 平面ABCD， $∠ B A D = ∠ A D C = 90^{\circ} ， D C =$ $2 A B = 2 a ， D A = \sqrt{3} a ， E$ 为BC的中点.

(1)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面PDE.

(2)、在线段PC上是否存在一点F，使得PA//平面BDF？若存在，指出点F的位置，并证明；若不存在，请说明理由.

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20. 在平面直角坐标系中，点 $A (x ， y)$ 到点 $F_{1} (- 1 ， 0) 与点 F_{2} (1 ， 0)$ 的距离之和为4.

(1)、试求点A的M的方程.

(2)、若斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线l与轨迹M交于C，D两点， $P (1 ， \frac{3}{2})$ 为轨迹M上不同于C，D的一点，记直线PC的斜率为 $k_{1}$ ，直线PD的斜率为 $k_{2}$ ，试问 $k_{1} + k_{2}$ 是否为定值.若是，求出该定值；若不同，请说出理由.

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21. 已知函数 $f (x) = x ln x - \frac{a}{2} x^{2} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + (a - 1) x 在 x = 1$ 处取得极大值，求实数a的取值范围.

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22. 在极坐标系中，圆C的极坐标方程为 $ρ^{2} = 4 ρ (cos θ + sin θ) - 3$ ，若以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.

(1)、求圆C的一个参数方程；

(2)、在平面直角坐标系中， $P (x ， y)$ 是圆C上的动点，试求 $x + 2 y$ 的最大值，并求出此时点P的直角坐标.

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23. 若关于x的不等式 $| 3 x + 2 | + | 3 x - 1 | - t \geq 0$ 的解集为R，记实数t的最大值为a.

(1)、求a的值；

(2)、若正实数 $m ， n$ 满足 $4 m + 5 n = a$ ，求 $y = \frac{1}{m + 2 n} + \frac{4}{3 m + 3 n}$ 的最小值.

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