内蒙古鄂伦春自治旗2018届高三下学期理数二模试卷

试卷更新日期：2018-06-14 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 下列复数中虚部最大的是（）

A、 $9 + 2 i$ B、 $3 - 4 i$ C、 ${(3 + i)}^{2}$ D、 $i (4 + 5 i)$

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2. 已知集合 $A = {x | - 4 < - x \leq 3}$ ， $B = {x | (x - 2) (x + 5) < 0}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 $(- 5 ， 4)$ B、 $(- 3 ， 2)$ C、 $(2 ， 4)$ D、 $[- 3 ， 2)$

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3. 若角 $α$ 的终边经过点 $(- 1 ， 2 \sqrt{3})$ ，则 $tan (α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{3 \sqrt{3}}{7}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{7}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$

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4. 若双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的一个焦点为 $(- 3 ， 0)$ ，则 $m =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $8$ C、 $9$ D、 $64$

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5. 在 $△ A B C$ 中， $sin B = 3 \sqrt{2} sin A$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，且 $C = \frac{π}{4}$ ，则 $A B =$ （）

A、 $\sqrt{26}$ B、 $5$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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6. 甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为 $V_{1}$ ， $V_{2}$ ，则（）

A、 $V_{1} > 2 V_{2}$ B、 $V_{1} = 2 V_{2}$ C、 $V_{1} - V_{2} = 163$ D、 $V_{1} - V_{2} = 173$

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7. $\frac{{(1 - 2 x)}^{7}}{x}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（）

A、 $- 84$ B、84 C、 $- 280$ D、280

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8. 我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（ $176$ 两）.问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的 $x$ ， $y$ 分别为（）

A、90，86 B、94，82 C、98，78 D、102，74

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9. 记不等式组 ${\begin{matrix} x + y \leq 4 ， \\ 3 x - 2 y \geq 6 ， \\ x - y \geq 4 \end{matrix}$ 表示的区域为 $Ω$ ，点 $P$ 的坐标为 $(x ， y)$ .有下面四个命题：
$p_{1} ： \forall P \in Ω$ ， $y \leq 0$ ； $p_{2} ： \forall P \in Ω$ ， $\frac{1}{2} x - y \geq 2$ ；
$p_{3} ： \forall P \in Ω$ ， $- 6 \leq y \leq \frac{6}{5}$ ； $p_{4} ： \exists P \in Ω$ ， $\frac{1}{2} x - y = \frac{1}{5}$ .
其中的真命题是（）

A、 $p_{1}$ ， $p_{2}$ B、 $p_{1}$ ， $p_{3}$ C、 $p_{2}$ ， $p_{4}$ D、 $p_{3}$ ， $p_{4}$

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10. 已知底面是正方形的直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球的表面积为 $40 π$ ，且 $A B = \sqrt{2}$ ，则 $A C_{1}$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正切值为（）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3$ D、 $4$

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11. 已知函数 $f (x) = | ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x) |$ ，设 $a = f ({log}_{3} 0.2)$ ， $b = f (3^{- 0.2})$ ， $c = f (- 3^{1.1})$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点 $F$ 关于直线 $3 x + 4 y - 12 = 0$ 的对称点为 $P$ ，点 $O$ 为 $C$ 的对称中心，直线 $P O$ 的斜率为 $\frac{72}{79}$ ，且 $C$ 的长轴不小于 $4$ ，则 $C$ 的离心率（）

A、存在最大值，且最大值为 $\frac{1}{4}$ B、存在最大值，且最大值为 $\frac{1}{2}$ C、存在最小值，且最小值为 $\frac{1}{4}$ D、存在最小值，且最小值为 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

13. 若向量 $\overset{⇀}{m} = (2 k - 1 ， k)$ 与向量 $\overset{⇀}{n} = (4 ， 1)$ 共线，则 $k =$ ．

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14. 若函数 $f (x) = 1 + a sin (a x + \frac{π}{6}) (a > 0)$ 的最大值为 $3$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期为．

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15. 现有如下假设：
所有纺织工都是工会成员，部分梳毛工是女工，部分纺织工是女工，所有工会成员都投了健康保险，没有一个梳毛工投了健康保险.
下列结论可以从上述假设中推出来的是．（填写所有正确结论的编号）
①所有纺织工都投了健康保险 ②有些女工投了健康保险 ③有些女工没有投健康保险 ④工会的部分成员没有投健康保险

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16. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{3} - 3 x + 1 ， x > 0 \\ - 5 x + {(\frac{1}{2})}^{x} + a ， x \leq 0 \end{matrix}$ 的最小值为 $- 1$ ，则 $a$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{3} = 7$ ， $a_{n} = 2 a_{n - 1} + a_{2} - 2 (n \geq 2)$ .

(1)、证明： ${a_{n} + 1}$ 为等比数列；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式，并判断 $n$ ， $a_{n}$ ， $S_{n}$ 是否成等差数列？

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18. 根据以往的经验，某建筑工程施工期间的降水量 $N$ （单位： $mm$ ）对工期的影响如下表：
降水量 $N$
$N < 400$
$400 \leq N < 600$
$600 \leq N < 1000$
$N \geq 1000$
工期延误天数 $X$
0
1
3
6
根据某气象站的资料，某调查小组抄录了该工程施工地某月前 $20$ 天的降水量的数据，绘制得到降水量的折线图，如下图所示.

(1)、根据降水量的折线图，分别求该工程施工延误天数 $X = 0 ， 1 ， 3 ， 6$ 的频率；

(2)、以（1）中的频率作为概率，求工期延误天数 $X$ 的分布列及数学期望与方差.

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = 2$ ， $D$ 为棱 $C C_{1}$ 的中点， $A B_{1} \cap^{} A_{1} B = O$ .

(1)、证明： $C_{1} O / /$ 平面 $A B D$ ；

(2)、设二面角 $D - A B - C$ 的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $A C ⊥ B C$ ， $\overset{⇀}{A_{1} E} = 2 \overset{⇀}{E B}$ ，求异面直线 $C_{1} O$ 与 $C E$ 所成角的余弦值.

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20. 已知点 $A (- \frac{1}{2} ， y_{0})$ 是抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > \frac{1}{2})$ 上一点，且 $A$ 到 $C$ 的焦点的距离为 $\frac{5}{8}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 在点 $A$ 处的切线方程；

(2)、若 $P$ 是 $C$ 上一动点，且 $P$ 不在直线 $l ： y = 2 x + 9 y_{0}$ 上，过 $P$ 作直线 $l_{1}$ 垂直于 $x$ 轴且交 $l$ 于点 $M$ ，过 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $N$ .证明： $\frac{{| A M |}^{2}}{| A N |}$ 为定值，并求该定值.

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21. 已知函数 $f (x) = (a x - 2) e^{x} - e (a - 2)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t c o s α ， \\ y = 1 + t s i n α ， \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ {sin}^{2} θ - 2 \sqrt{3} cos θ = 0$ .

(1)、写出直线 $l$ 的普通方程及曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (0 ， 1)$ ，点 $Q (\sqrt{3} ， 0)$ ，直线 $l$ 过点 $Q$ 且与曲线 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，设线段 $A B$ 的中点为 $M$ ，求 $| P M |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | + | x + 3 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 15$ 的解集；

(2)、若 $- x^{2} + a \leq f (x)$ 对 $x \in R$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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降水量 $N$	$N < 400$	$400 \leq N < 600$	$600 \leq N < 1000$	$N \geq 1000$
工期延误天数 $X$	0	1	3	6