吉林省延边州2018年高考仿真模拟文数试卷

试卷更新日期：2018-06-14 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0 ， x \in Z}$ ，则 $A \cup^{} B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ C、 $[1 ， 2]$ D、 $[0 ， 3]$

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2. 复数 $\frac{2 + i}{1 - 2 i}$ 的共轭复数的虚部是（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、-1 D、1

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3. 下列结论正确的是（）

A、若直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，直线 $l ⊥$ 平面 $β$ ，则 $α / / β$ B、若直线 $l / /$ 平面 $α$ ，直线 $l / /$ 平面 $β$ ，则 $α / / β$ C、若两直线 $l_{1} 、 l_{2}$ 与平面 $α$ 所成的角相等，则 $l_{1} / / l_{2}$ D、若直线 $l$ 上两个不同的点 $A 、 B$ 到平面 $α$ 的距离相等，则 $l / / α$

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4. 已知 $sin α - cos α = \frac{4}{3}$ ，则 ${cos}^{2} (\frac{π}{4} - α) =$ （）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{5}{9}$

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5. 设直线 $l$ 过双曲线 $C$ 的一个焦点，且与 $C$ 的一条对称轴垂直， $l$ 与 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点， $| A B |$ 为 $C$ 的实轴长的2倍，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $3$ B、 $2$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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6. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）

A、 $6 π + 12$ B、 $6 π + 24$ C、 $12 π + 12$ D、 $24 π + 12$

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7. 执行下面的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=( )

A、1+ $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ B、1+ $\frac{1}{2} + \frac{1}{3 \times 2} + \frac{1}{4 \times 3 \times 2}$ C、1+ $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$ D、1+ $\frac{1}{2} + \frac{1}{3 \times 2} + \frac{1}{4 \times 3 \times 2} + \frac{1}{5 \times 4 \times 3 \times 2}$

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8. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{6} - a_{1} = 15$ ，则 $S_{7} = （）$

A、 $21$ B、 $22$ C、 $23$ D、 $24$

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9. 若将函数 $y = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图像向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）

A、 $x = \frac{k π}{2} + \frac{π}{4} (k \in Z)$ B、 $x = \frac{k π}{2} + \frac{π}{12} (k \in Z)$ C、 $x = k π + \frac{π}{4} (k \in Z)$ D、 $x = k π + \frac{π}{12} (k \in Z)$

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10. 若 $a > 0 ， b > 0 ， lg a + lg b = lg (a + b)$ ，则 $a + b$ 的最小值为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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11. 在平面直角坐标系中， $O$ 为原点， $A (- 1 ， 0) ， B (0 ， \sqrt{3}) ， C (3 ， 0)$ ，动点 $D$ 满足 $| \vec{C D} | = 1$ ，则 $| \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O D} |$ 的取值范围是（）

A、 $[4 ， 6]$ B、 $[\sqrt{19} - 1 ， \sqrt{19} + 1]$ C、 $[2 \sqrt{3} ， 2 \sqrt{7}]$ D、 $[\sqrt{7} - 1 ， \sqrt{7} + 1]$

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12. 已知函数 $g (x) = a - x^{2}$ （ $\frac{1}{e} \leq x \leq e$ ， $e$ 为自然对数的底数）与 $h (x) = 2 ln x$ 的图象上存在关于 $x$ 轴对称的点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， \frac{1}{e^{2}} + 2]$ B、 $[1 ， e^{2} - 2]$ C、 $[\frac{1}{e^{2}} + 2 ， e^{2} - 2]$ D、 $[e^{2} - 2 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \\ x \leq 3 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x - 3 y$ 的最小值是．

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14. 若 $sin 2 α = \frac{3}{5} ， α \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，则 $sin (2 α + \frac{π}{4}) + 2 cos \frac{π}{4} {cos}^{2} α$ 的值为.

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15. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为．

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16. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} a \cdot 2^{x - 1} - \frac{1}{a} ， x \leq 1 \\ (a - 2) x + \frac{5}{3} ， x > 1 \end{matrix} ， (a > 0 ， a \neq 1)$ ，当 $x_{1} ， x_{2} \in R ， x_{1} \neq x_{2}$ ，时有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是 .

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三、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = 2 a_{n} + n (n \in N^{*})$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n} - 1}$ 为等比数列；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1 - a_{n}}{a_{n} a_{n - 1}}$ ，求 $T_{n} = b_{1} + b_{2} + \cdot \cdot \cdot + b_{n}$ ．

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18. 某学校为了了解学生使用手机的情况，分别在高一和高二两个年级各随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频数分布表和频率分布直方图，将使用手机时间不低于80分钟的学生称为“手机迷”．
高一学生日均使用手机时间的频数分布表
时间分组
频数
[0，20）
12
[20，40）
20
[40，60）
24
[60，80）
18
[80，100）
22
[100，120]
4
附：随机变量 $k^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ 为样本总量）．
参考数据
$P (k^{2} \geq x_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
$x_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024

(1)、将频率视为概率，估计哪个年级的学生是“手机迷”的概率大？请说明理由．

(2)、在高二的抽查中，已知随机抽到的女生共有55名，其中10名为“手机迷”．根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你有多大的把握认为“手机迷”与性别有关？

非手机迷
手机迷
合计
男

女

合计

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 面 $A B C D$ ， $A B / / D C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $D C = 6$ ， $A D = 8$ ， $B C = 10$ ， $∠ P A D = 45^{\circ}$ ， $E$ 为 $P A$ 的中点.

(1)、求证： $D E / /$ 面 $P B C$ ；

(2)、求三棱锥 $E - P B C$ 的体积.

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20. 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且经过点M(1， $\frac{3}{2}$ ），过点P(2，1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、是否存在直线l，满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P M^{2}}$ ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = (2 - a) (x - 1) - 2 ln x$ （ $a \in R$ ）．
（Ⅰ）若曲线 $g (x) = f (x) + x$ 上点 $(1 ， g (1))$ 处的切线过点 $(0 ， 2)$ ，求函数 $g (x)$ 的单调减区间；
（Ⅱ）若函数 $y = f (x)$ 在 $(0 ， \frac{1}{2})$ 上无零点，求 $a$ 的最小值．

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22. 已知直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = m + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix} (t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} {cos}^{2} θ + 3 ρ^{2} {sin}^{2} θ = 12$ .直线 $l$ 过点 $（ - 2 \sqrt{2} ， 0 ）$ .

(1)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，求 $| F A | \cdot | F B |$ 的值；

(2)、求曲线 $C$ 的内接矩形的周长的最大值.

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23. 已知 $f (x) = | x - 1 | + | x + a | ， g (a) = a^{2} - a - 2$ ．

(1)、当 $a = 3$ ，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > g (a) + 2$ ；

(2)、当 $x \in [- a ， 1)$ 时恒有 $f (x) \leq g (a)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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时间分组	频数
[0，20）	12
[20，40）	20
[40，60）	24
[60，80）	18
[80，100）	22
[100，120]	4

参考数据	$P (k^{2} \geq x_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025
参考数据	$x_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024

	非手机迷	手机迷	合计
男
女
合计