2018年高考理数真题试卷（天津卷）

试卷更新日期：2018-06-13 类型：高考真卷

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一、选择题

1. 设全集为R，集合 $A = {x | 0 < x < 2}$ ， $B = {x | x \geq 1}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | 0 < x \leq 1}$ B、 ${x | 0 < x < 1}$ C、 ${x | 1 \leq x < 2}$ D、 ${x | 0 < x < 2}$

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2. 设变量x ， y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \leq 5 ， \\ 2 x - y \leq 4 ， \\ - x + y \leq 1 ， \\ y \geq 0 ， \end{matrix}$ 则目标函数 $z = 3 x + 5 y$ 的最大值为（）

A、6 B、19 C、21 D、45

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3. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 设 $x \in R$ ，则“ $| x - \frac{1}{2} | < \frac{1}{2}$ ”是“ $x^{3} < 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $a = \log_{2} e$ ， $b = \ln 2$ ， $c = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则a ， b ， c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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6. 将函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{5})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{10}$ 个单位长度，所得图象对应的函数（）

A、在区间 $[\frac{3 π}{4} ， \frac{5 π}{4}]$ 上单调递增 B、在区间 $[\frac{3 π}{4} ， π]$ 上单调递减 C、在区间 $[\frac{5 π}{4} ， \frac{3 π}{2}]$ 上单调递增 D、在区间 $[\frac{3 π}{2} ， 2 π]$ 上单调递减

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ， B两点. 设A ， B到双曲线同一条渐近线的距离分别为 $d_{1}$ 和 $d_{2}$ ，且 $d_{1} + d_{2} = 6$ ，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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8. 如图，在平面四边形ABCD中， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $A B = A D = 1$ . 若点E为边CD上的动点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B E}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{21}{16}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{25}{16}$ D、 $3$

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二、填空题：

9. i是虚数单位，复数 $\frac{6 + 7 i}{1 + 2 i} =$

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10. 在 ${(x - \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，除面 $A B C D$ 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ， F ， G ， H ， M(如图)，则四棱锥 $M - E F G H$ 的体积为

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12. 已知圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 的圆心为C ，直线 ${\begin{matrix} x = - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t ， \\ y = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ ( $t$ 为参数)与该圆相交于A ， B两点，则 $Δ A B C$ 的面积为.

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13. 已知 $a ， b \in R$ ，且 $a - 3 b + 6 = 0$ ，则 $2^{a} + \frac{1}{8^{b}}$ 的最小值为.

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14. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 2 a x + a ， x \leq 0 ， \\ - x^{2} + 2 a x - 2 a ， x > 0. \end{matrix}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a x$ 恰有2个互异的实数解，则 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题：

15. 在 $Δ A B C$ 中，内角A ， B，C所对的边分别为a，b ， c. 已知 $b \sin A = a \cos (B - \frac{π}{6})$ .
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和 $\sin (2 A - B)$ 的值.

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16. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.

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17. 如图， $A D / / B C$ 且AD=2BC ， $A D ⊥ C D$ ， $E G / / A D$ 且EG=AD ， $C D / / F G$ 且CD=2FG ， $D G ⊥ 平面 A B C D$ ，DA=DC=DG=2.
（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： MN//平面CDE ；
（Ⅱ）求二面角 $E - B C - F$ 的正弦值；
（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.

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18. 设 ${a_{n}}$ 是等比数列，公比大于0，其前n项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ， ${b_{n}}$ 是等差数列.已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = a_{2} + 2$ ， $a_{4} = b_{3} + b_{5}$ ， $a_{5} = b_{4} + 2 b_{6}$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 ${S_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n} (n \in N^{*})$ ，
（i）求 $T_{n}$ ；
（ii）证明 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{(T_{k} + b_{k + 2}) b_{k}}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{2^{n + 2}}{n + 2} - 2 (n \in N^{*})$ .

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19. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)的左焦点为F ，上顶点为B.已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，点A的坐标为 $(b ， 0)$ ，且 $| F B | \cdot | A B | = 6 \sqrt{2}$ .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l： $y = k x (k > 0)$ 与椭圆在第一象限的交点为P ，且l与直线AB交于点Q.若 $\frac{| A Q |}{| P Q |} = \frac{5 \sqrt{2}}{4} \sin ∠ A O Q$ (O为原点)，求k的值.

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20. 已知函数 $f (x) = a^{x}$ ， $g (x) = \log_{a} x$ ，其中a>1.
（Ⅰ）求函数 $h (x) = f (x) - x \ln a$ 的单调区间；
（Ⅱ）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ 处的切线与曲线 $y = g (x)$ 在点 $(x_{2} ， g (x_{2}))$ 处的切线平行，证明 $x_{1} + g (x_{2}) = - \frac{2 \ln \ln a}{\ln a}$ ；
（Ⅲ）证明当 $a \geq e^{\frac{1}{e}}$ 时，存在直线l ，使l是曲线 $y = f (x)$ 的切线，也是曲线 $y = g (x)$ 的切线.

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