2018年高考文数真题试卷（天津卷）

试卷更新日期：2018-06-13 类型：高考真卷

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一、选择题：

1. 设集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 2 ， 3}$ ， $C = {x \in R | - 1 \leq x < 2}$ ，则 $(A \cup B) \cap C =$ （）

A、 ${- 1 ， 1}$ B、 ${0，1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${2 ， 3 ， 4}$

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2. 设变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{cases} x + y \leq 5 ， \\ 2 x - y \leq 4 ， \\ - x + y \leq 1 ， \\ y \geq 0 ， \end{cases}$ 则目标函数 $z = 3 x + 5 y$ 的最大值为（）

A、6 B、19 C、21 D、45

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3. 设 $x \in R$ ，则“ $x^{3} > 8$ ”是“ $| x | > 2$ ” 的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 $N$ 的值为20，则输出 $T$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知 $a = \log_{3} \frac{7}{2} ， b = {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{3}} ， c = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{5}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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6. 将函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{5})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{10}$ 个单位长度，所得图象对应的函数（）

A、在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增 B、在区间 $[\frac{π}{4} ， 0]$ 上单调递减 C、在区间 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增 D、在区间 $[\frac{π}{2} ， π]$ 上单调递减

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2，过右焦点且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线交于 $A ， B$ 两点.设 $A ， B$ 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 $d_{1}$ 和 $d_{2}$ ，且 $d_{1} + d_{2} = 6 ，$ 则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

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8. 在如图的平面图形中，已知 $O M = 1. O N = 2 ， ∠ M O N = 120^{\circ}$ ， $\vec{B M} = 2 \vec{M A} ， \vec{C N} = 2 \vec{N A} ，$ 则 $\vec{B C} · \vec{O M}$ 的值为（）

A、 $- 15$ B、 $- 9$ C、 $- 6$ D、0

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二、填空题：

9. i是虚数单位，复数 $\frac{6 + 7 i}{1 + 2 i}$ = ．

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10. 已知函数f(x)=e^xlnx ， f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′（1）的值为．

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11. 如图，已知正方体ABCD–A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则四棱柱A₁–BB₁D₁D的体积为．

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12. 在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为．

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13. 已知a ， b∈R，且a–3b+6=0，则2^a+ $\frac{1}{8^{b}}$ 的最小值为．

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14. 已知a∈R，函数 $f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 2 x + a - 2 ， x \leq 0 ， \\ - x^{2} + 2 x - 2 a ， x > 0 ． \end{cases}$ 若对任意x∈［–3，+ $\infty$ ），f(x)≤ $| x |$ 恒成立，则a的取值范围是．

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三、解答题：

15. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ， B ， C ， D ， E ， F ， G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．

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16. 在△ABC中，内角A ， B ， C所对的边分别为a，b，c ．已知bsinA=acos(B– $\frac{π}{6}$ )．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin(2A–B)的值．

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17. 如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD ，点M为棱AB的中点，AB=2，AD= $2 \sqrt{3}$ ，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．

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18. 设{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n（n∈N^*）；{b_n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为T_n（n∈N^*）．已知b₁=1，b₃=b₂+2，b₄=a₃+a₅ ， b₅=a₄+2a₆ ．
（Ⅰ）求S_n和T_n；
（Ⅱ）若S_n+（T₁+T₂+…+T_n）=a_n+4b_n ，求正整数n的值．

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19. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为A ，上顶点为B.已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ， $| A B | = \sqrt{13}$ .
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线 $l ： y = k x (k < 0)$ 与椭圆交于 $P ， Q$ 两点， $l$ 与直线 $A B$ 交于点M ，且点P ， M均在第四象限.若 $△ B P M$ 的面积是 $△ B P Q$ 面积的2倍，求k的值.

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20. 设函数 $f (x) =(x - t_{1}) (x - t_{2}) (x - t_{3})$ ，其中 $t_{1} ， t_{2} ， t_{3} \in R$ ，且 $t_{1} ， t_{2} ， t_{3}$ 是公差为 $d$ 的等差数列.
（I）若 $t_{2} = 0 ， d = 1 ，$ 求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；
（II）若 $d = 3$ ，求 $f (x)$ 的极值；
（III）若曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = - (x_{1} - t_{2}) - 6 \sqrt{3}$ 有三个互异的公共点，求d的取值范围.

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