湖北省荆州市2018届高三文数质量检查（III）试卷

试卷更新日期：2018-06-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 1 < x < 3}$ ， $B = {x | 2 x - 3 \geq 0}$ ，则 $A \cap^{} (C_{U} B) =$ （）

A、 $(- \infty ， \frac{3}{2})$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(1 ， \frac{3}{2})$ D、 $[\frac{3}{2} ， 3)$

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2. 若复数 $z = m^{2} - 1 + (m + 1) i$ 是纯虚数，其中 $m$ 是实数，则 $\frac{2}{z} =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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3. 下列命题正确的是（）

A、命题“ $p \land q$ ”为假命题，则命题 $p$ 与命题 $q$ 都是假命题； B、命题“若 $x = y$ ，则 $sin x = sin y$ ”的逆否命题为真命题； C、“ $a m^{2} < b m^{2}$ ”是“ $a < b$ ”成立的必要不充分条件； D、命题“存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $x_{0}^{2} + x_{0} + 1 < 0$ ”的否定是：“对任意 $x \in R$ ，均有 $x^{2} + x + 1 < 0$ ”.

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} + 2$ ，且 $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 9$ ，则 ${log}_{\frac{1}{3}} (a_{5} + a_{7} + a_{9}) =$ （）

A、-3 B、3 C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5. 《世界数学史简编》的封面有一图案（如图），该图案的正方形内有一内切圆，圆内有一内接正三角形，在此图案内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{π}{4} - \frac{3 \sqrt{3}}{16}$ B、 $\frac{π}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{16}$ C、 $\frac{π}{4} - \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ D、 $\frac{π}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{8}$

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6. 把函数 $f (x) = sin 2 x + \sqrt{3} cos 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ （）

A、图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 B、在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递减 C、图象关于点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 对称 D、在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递增

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7. 实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} y \geq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \\ x + y - 2 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最大值是（）

A、0 B、-2 C、2 D、4

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8. 函数 $f (x) = \frac{x cos x}{x - \frac{1}{x}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）

A、14 B、15 C、16 D、17

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10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）

A、 $8 + 4 \sqrt{2}$ B、 $12 + 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ C、 $6 + 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ D、12

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11. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆 $O$ 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为 $P$ 、 $Q$ ，点 $B$ 为圆 $O$ 与 $y$ 轴正半轴的交点，若 $∠ P O F_{2} = ∠ Q O B$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $3 + \sqrt{5}$ B、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ C、 $1 + \sqrt{5}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

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12. 若函数 $f (x) = | x^{3} - 4 x | + \frac{t}{2} x - 2$ 有且只有两个零点，则实数 $t$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 2) \cup^{} (2 ， + \infty)$ B、 $(- 2 ， 2)$ C、 $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3} ， \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ D、 $(- \infty ， - \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup^{} (\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 平面向量 $\overset{⇀}{a} = (2 ， λ)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 3 ， 1)$ ，若向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 共线，则 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} =$ ．

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14. 某医院随机抽取20位急症病人家属了解病人等待急症的时间，记录如下表：
等待急症时间（分钟）
$[0 ， 4)$
$[4 ， 8)$
$[8 ， 12)$
$[12 ， 16)$
$[16 ， 20)$
频数
4
8
5
2
1
根据以上记录，病人等待急症平均时间的估计值 $\bar{x} =$ 分钟．

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15. 已知底面是直角三角形的直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上，且 $A B = A C = 1$ ，若球 $O$ 的表面积为 $3 π$ ，则这个直三棱柱的体积是．

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16. 高斯函数 $y = [x]$ 又称为取整函数，符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.设 $x_{n} (n \in N^{*})$ 是关于 $x$ 的方程 $n x^{3} + 2 x - n = 0$ 的实数根， $a_{n} = [(n + 1) x_{n}]$ ， $(n = 2 ， 3 \cdot \cdot \cdot)$ .则：（1） $a_{2} =$ ；（2） $\frac{a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{2019}}{2018} =$ .

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $2 b cos C = 2 a - c$ .
（Ⅰ）求 $∠ B$ 的大小；
（Ⅱ）若 $b = 2 \sqrt{3}$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $a$ 的值.

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18. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A D C = ∠ B C D = 90^{\circ}$ ， $A D = C D = 1$ ， $B C = 2$ ， $Δ P A C$ 是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D$ .
（Ⅰ）证明： $P C ⊥ P B$ ；
（Ⅱ）若点 $E$ 在线段 $P C$ 上，且 $P C = 3 P E$ ，求三棱锥 $A - E B C$ 的体积.

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19. 《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”.下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的统计数据：
月份
1
2
3
4
5
6
不“礼让斑马线”驾驶员人数
120
105
100
85
90
80
（Ⅰ）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让斑马线”的驾驶员人数 $y$ 与月份 $x$ 之间的回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；
（Ⅱ）若该十字路口某月不“礼让斑马线”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”.试根据（Ⅰ）中的回归直线方程，判断6月份该十字路口“礼让斑马线”情况是否达到“理想状态”？
（Ⅲ）若从表中3、4月份分别选取4人和2人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查，求抽取的两人恰好来自同一月份的概率.
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ $= \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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20. 已知倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线经过抛物线 $Γ$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ ，与抛物线 $Γ$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $| A B | = 8$ .
（Ⅰ）求抛物线 $Γ$ 的方程；
（Ⅱ）过点 $P (12 ， 8)$ 的两条直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 分别交抛物线 $Γ$ 于点 $C$ 、 $D$ 和 $E$ 、 $F$ ，线段 $C D$ 和 $E F$ 的中点分别为 $M$ 、 $N$ .如果直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的倾斜角互余，求证：直线 $M N$ 经过一定点.

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21. 已知函数 $f (x) = x (e^{x} - \frac{a}{3} x^{2} - \frac{a}{2} x)$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数.
（Ⅰ）当 $a = 0$ ， $x > 0$ 时，证明： $f (x) \geq e x^{2}$ ；
（Ⅱ）当 $a \leq 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的极值点的个数.

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22. 在极坐标系中，已知圆 $C$ 的圆心为 $(2 \sqrt{2} ， \frac{π}{4})$ ，半径为 $2 \sqrt{2}$ .以极点为原点，极轴方向为 $x$ 轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{1}{a} t + 3 \\ y = 1 - t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数， $a \in R$ 且 $a \neq 0$ ）.
（Ⅰ）写出圆 $C$ 的极坐标方程和直线 $l$ 的普通方程；
（Ⅱ）若直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $| A B |$ 的最小值.

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23. 设不等式 $| | x + 1 | - | x - 1 | | < 2$ 的解集为 $A$ .
（Ⅰ）求集合 $A$ ；
（Ⅱ）若 $\forall m \in A$ ，不等式 $m x^{2} - 2 x + 1 - m < 0$ 恒成立，求实数 $x$ 的取值范围.

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等待急症时间（分钟）	$[0 ， 4)$	$[4 ， 8)$	$[8 ， 12)$	$[12 ， 16)$	$[16 ， 20)$
频数	4	8	5	2	1

月份	1	2	3	4	5	6
不“礼让斑马线”驾驶员人数	120	105	100	85	90	80