宁夏石嘴山市2018届高三文数4月适应性测试试卷

试卷更新日期：2018-06-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $P = {x | 0 \leq x < 3}$ ， $M = {x | | x | \leq 3}$ ，则 $P \cap M =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${x | 0 \leq x < 3}$ D、 ${x | 0 \leq x \leq 3}$

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2. 已知复数 $z = \frac{3}{1 + 2 i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ B、 $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ C、 $\frac{3}{5} - \frac{6}{5} i$ D、 $\frac{3}{5} + \frac{6}{5} i$

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3. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (2 ， 1) ， \overset{⇀}{b} = (m ， - 1)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})$ ，则实数 $m =$ （）

A、3 B、1 C、4 D、2

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4. 《张邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{16}{29}$ C、 $\frac{16}{31}$ D、 $\frac{8}{15}$

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5. 已知变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 1 \\ 3 x + y \leq 3 \\ x \geq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = 2 x + y$ 的最小值是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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6. 下列命题中正确命题的个数是（）
①命题“若 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ，则 $x = 1$ ”的逆否命题为“若 $x \neq 1$ ，则 $x^{2} - 3 x + 2 \neq 0$ ”；②“ $a \neq 0$ ”是“ $a^{2} + a \neq 0$ ”的必要不充分条件；③若 $p \land q$ 为假命题，则 $p$ ， $q$ 均为假命题；④若命题 $p$ ： $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + x_{0} + 1 < 0$ ，则 $\neg p$ ： $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \geq 0$ ；

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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7. 函数 $f (x) = 2^{| x |} - x^{2}$ 的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 某程序框图如图所示，则该程序框图执行后输出的 $S$ 值为（ $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[2] = 2 ， [3.7] = 3$ ）（）

A、4 B、5 C、7 D、9

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9. 一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于（）

A、2 B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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10. 将函数 $f (x) = cos (2 x - \frac{π}{4})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ （）

A、为奇函数，在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递減 B、最大值为1，图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 C、周期为 $π$ ，图象关于点 $(\frac{3 π}{8} ， 0)$ 对称 D、为偶函数，在 $(- \frac{3 π}{8} ， \frac{π}{8})$ 上单调递增

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11. 已知 $F_{1} 、 F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于 $A 、 B$ 两点，且 $Δ F_{1} A B$ 为等边三角形，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{4} x + 1 ， x \leq 1 \\ l n x ， x > 1 \end{matrix}$ ，则方程 $f (x) = a x$ 恰有两个不同的实根时，实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e})$ B、 $(0 ， \frac{1}{4})$ C、 $[\frac{1}{4} ， \frac{1}{e})$ D、 $[\frac{1}{4} ， \frac{1}{e}]$

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二、填空题

13. 已知20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩在 $[60 ， 70)$ 中的学生人数为．

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14. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x + 4) = f (x)$ ，当 $0 < x < 2$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (- 21) + f (16) =$ ．

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15. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} ， \frac{1}{2} a_{3} ， 2 a_{2}$ 成等差数列，则 $\frac{a_{5}}{a_{3}} =$ ．

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16. 设抛物线 $C ： y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l$ 过焦点 $F$ ，且与抛物线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $| A F | = 3$ ，则 $\frac{S_{Δ A O F}}{S_{Δ B O F}} =$ ．

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三、解答题

17. 已知 $a ， b ， c$ 分别为 $Δ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 的对边，且 $b sin A = \sqrt{3} a cos B$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 面积的最大值.

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18. 《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：

(1)、请利用所给数据求违章人数 $y$ 与月份 $x$ 之间的回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；

(2)、若从表中1月份和4月份的违章驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本，再从这7人中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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19. 如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P C = 3$ ， $D$ 、 $E$ 分别为线段 $A B$ 、 $B C$ 上的点，且 $C D = D E = \sqrt{2}$ ， $C E = 2 E B = 2$ .

（Ⅰ）求证： $D E ⊥$ 平面 $P C D$ ；
（Ⅱ）求点 $B$ 到平面 $P D E$ 的距离.

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20. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，且两个焦点的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ， $(1 ， 0)$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若 $A$ ， $B$ ， $P$ （点 $P$ 不与椭圆顶点重合）为 $E$ 上的三个不同的点， $O$ 为坐标原点，且 $\overset{⇀}{O P} = \overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B}$ ，求 $A B$ 所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a x - a$ （ $a \in R$ 且 $a \neq 0$ ）.

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极值，求实数 $a$ 的值；并求此时 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 1]$ 上的最大值；

(2)、若函数 $f (x)$ 不存在零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ (其中 $t$ 为参数）.现以坐标原点为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 6 cos θ$ .

(1)、写出直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若点 $P$ 坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，直线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $A ， B$ 两点，求 $| P A | + | P B |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | - 2 | x + 1 |$ 的最大值为 $k$ .

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、若 $a ， b ， c \in R$ ， $\frac{a^{2} + c^{2}}{2} + b^{2} = k$ ，求 $b (a + c)$ 的最大值.

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