2018年高考文数真题试卷（全国Ⅱ卷）

试卷更新日期：2018-06-11 类型：高考真卷

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一、选择题

1. i（2+3i）=（）

A、3-2i B、3+2i C、-3-2i D、-3+2i

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2. 已知集合A={1、3、5、7}，B={2、3、4、5}，则 $A \cap B$ =（）

A、{3} B、{5} C、{3、5} D、{1、2、3、4、5、7}

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3. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{x^{2}}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|$ =1， $\vec{a}$ ⋅ $\vec{b}$ =−1 ，则 $\vec{a}$ ·(2 $\vec{a}$ - $\vec{b}$ )=（）

A、4 B、3 C、2 D、0

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5. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）

A、0.6 B、0.5 C、0.4 D、0.3

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6. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>0，b>0）的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$

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7. 在 $Δ A B C$ 中， $\cos \frac{C}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5} ， B C = 1 ， A C = 5$ 则 $A B =$ （）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{30}$ C、 $\sqrt{29}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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8. 为计算 $S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{99} - \frac{1}{100}$ ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）

A、 $i = i + 1$ B、 $i = i + 2$ C、 $i = i + 3$ D、 $i = i + 4$

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9. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的重点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$

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10. 若 $f (x) = \cos x - \sin x$ 在 $[0 ， a]$ 是减函数，则a的最大值是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $π$

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11. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，且 $∠ P F_{2} F_{1} = 60^{\circ}$ ，则C的离心率为（）

A、1- $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、2- $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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12. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $(- \infty ， + \infty)$ 的奇函数，满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ 。若 $f (1) = 2$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \cdot \cdot \cdot + f (50) =$ （）

A、-50 B、0 C、2 D、50

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二、填空题。

13. 曲线 $y = 2 lnx$ 在点 $(1 ， 0)$ 处的切线方程为.

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14. 若x，y满足约束条件 ${\begin{cases} x + 2 y - 5 \geq 0 \\ x - 2 y + 3 \geq 0 \\ x - 5 \leq 0 \end{cases}$ ，则 $z = x + y$ 的最大值为.

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15. 已知 $\tan (α - \frac{5 π}{4}) = \frac{1}{5}$ ，则tan $α$ =

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16. 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若 $△ S A B$ 的面积为8，则该圆锥的体积为

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三、解答题

17. 记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知a₁=-7，S₃=-15.

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、求S_n ，并求S_n的最小值。

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18. 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 $y$ (单位：亿元)的折线图。

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 $y$ 与时间变量t的两个线性回归模型，根据2000年至2016年的数据（时间变量 $t$ 的值依次为1，2，…，17）建立模型①： $\overset{\land}{y}$ =-30.4+13.5t .根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型 ②： $\hat{y} = 99 + 17.5 t$

(1)、分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资的预测值；

(2)、你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。

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19. 如图，在三角锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = P B = P C = A C = 4$ ， $O$ 为 $A C$ 的中点.

(1)、证明： $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若点 $M$ 在棱 $B C$ 上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离.

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20. 设抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过F点且斜率 $k (k > 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $| A B | = 8$ .

(1)、求 $l$ 的方程。

(2)、求过点 $A ， B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a (x^{2} + x + 1)$

(1)、若a=3，求 $f (x)$ 的单调区间

(2)、证明： $f (x)$ 只有一个零点

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四、选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{cases} x = 2 \cos θ \\ y = 4 \sin θ \end{cases}$ ( $θ$ 为参数)，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{cases} x = 1 + t \cos α \\ y = 2 + t \sin α \end{cases}$ ( $t$ 为参数)

(1)、求 $C$ 和 $l$ 的直角坐标方程

(2)、若曲线 $C$ 截直线 $l$ 所得线段的中点坐标为 $(1 ， 2)$ ，求 $l$ 的斜率

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五、选考题[选修4-5：不等式选讲]

23. 设函数 $f (x) = 5 - | x + a | - | x - 2 |$

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \leq 1$ ，求 $a$ 的取值范围

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