2018年高考理数真题试卷（全国Ⅱ卷）

试卷更新日期：2018-06-11 类型：高考真卷

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一、选择题

1. $\frac{1 + 2 i}{1 - 2 i} =$ （）

A、 $- \frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$ B、 $- \frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ D、 $- \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$

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2. 已知集合 $A = {(x ， y) | x^{2} + y^{2} \leq 3 ， x \in Z ， y \in Z}$ .则A中元素的个数为（）

A、9 B、8 C、5 D、4

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3. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{x^{2}}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|$ =1， $\vec{a}$ ⋅ $\vec{b}$ =−1 ，则 $\vec{a}$ ·(2 $\vec{a}$ - $\vec{b}$ )=（）

A、4 B、3 C、2 D、0

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5. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>0，b>0）的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$

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6. 在 $Δ A B C$ 中， $\cos \frac{C}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5} ， B C = 1 ， A C = 5$ 则 $A B =$ （）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{30}$ C、 $\sqrt{29}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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7. 为计算 $S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{99} - \frac{1}{100}$ ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）

A、i=i+1 B、i=i+2 C、i=i+3 D、i=i+4

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8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{14}$ C、 $\frac{1}{15}$ D、 $\frac{1}{18}$

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9. 在长方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁= $\sqrt{3}$ ，则异面直线AD₁与DB₁所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10. 若 $f (x) = \cos x - \sin x$ 在 $[- a ， a]$ 是减函数，则a的最大值是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $π$

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11. 已知 $f (x)$ 是定义为 $(- \infty ， + \infty)$ 的奇函数，满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ 。若 $f (1) = 2$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \cdot \cdot \cdot + f (50) =$ （）

A、-50 B、0 C、2 D、50

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12. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 的直线上， $Δ P F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形， $∠ F_{1} F_{2} P = 120^{\circ}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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二、填空题。

13. 曲线 $y = 2 \ln (x + 1)$ 在点 $(0 ， 0)$ 处的切线方程为.

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14. 若x，y满足约束条件 ${\begin{cases} x + 2 y - 5 \geq 0 \\ x - 2 y + 3 \geq 0 \\ x - 5 \leq 0 \end{cases}$ ，则 $z = x + y$ 的最大值为.

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15. 已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0则sin（α+β）=。

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16. 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 $\frac{7}{8}$ ，SA与圆锥底面所成角为45°。若△SAB的面积为 $5 \sqrt{15}$ ，则圆锥的侧面积为。

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三、解答题

17. 记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知a₁=-7，S₃=-15.

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、求S_n ，并求S_n的最小值。

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18. 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 $y$ (单位：亿元)的折线图。
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 $y$ 与时间变量t的两个线性回归模型，根据2000年至2016年的数据（时间变量 $t$ 的值依次为1，2，…….，17）建立模型①： $\hat{y} = -30.4 + 13.5 t$ .根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②： $\hat{y} = 99 + 17.5 t$

(1)、分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资的预测值；

(2)、你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。

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19. 设抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过F点且斜率 $k (k > 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $| A B | = 8$ .

(1)、求 $l$ 的方程。

(2)、求过点 $A ， B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆的方程.

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20. 如图，在三角锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = P B = P C = A C = 4$ ， $O$ 为 $A C$ 的中点.

(1)、证明： $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若点 $M$ 在棱 $B C$ 上，且二面角 $M - P A - C$ 为 $30 °$ ，求 $P C$ 与平面 $P A M$ 所成角的正弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$

(1)、若a=1，证明：当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq 1 ；$

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 只有一个零点，求 $a$ .

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四、选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{cases} x = 2 \cos θ \\ y = 4 \sin θ \end{cases}$ ( $θ$ 为参数)，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{cases} x = 1 + t \cos α \\ y = 2 + t \sin α \end{cases}$ ( $t$ 为参数)

(1)、求 $C$ 和 $l$ 的直角坐标方程

(2)、若曲线 $C$ 截直线 $l$ 所得线段的中点坐标为 $(1 ， 2)$ ，求 $l$ 的斜率

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五、选考题[选修4-5：不等式选讲]

23. 设函数 $f (x) = 5 - | x + a | - | x - 2 |$

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \leq 1$ ，求 $a$ 的取值范围

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