2018年高考理数真题试卷（全国Ⅰ卷）

试卷更新日期：2018-06-11 类型：高考真卷

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一、选择题：

1. 设 $z = \frac{1 - i}{1 + i} + 2 i$ ，则 $| z |$ =（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 > 0}$ ，则∁_RA=（）

A、 ${x | - 1 < x < 2}$ B、 ${x | - 1 \leq x \leq 2}$ C、 ${x | x < - 1} \cup {x | x > 2}$ D、 ${x | x \leq - 1} \cup {x | x \geq 2}$

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3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（）

A、新农村建设后，种植收入减少 B、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C、新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

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4. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $3 S_{3} = S_{2} + S_{4} ， a_{1} = 2$ ，则a₅=（）

A、-12 B、-10 C、10 D、12

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5. 设函数 $f (x) = x^{3} + (a - 1) x^{2} + a x$ ，若 $f (x)$ 为奇函数，则曲线y=f(x)在点（0，0）处的切线方程为（）

A、y=-2x B、y=-x C、y=2x D、y=x

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6. 在 $Δ A B C$ 中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 $\vec{E B} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$

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7. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）

A、 $2 \sqrt{17}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $3$ D、2

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8. 设抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为 $\frac{2}{3}$ 的直线与C交于M，N两点，则 $\vec{F M} \cdot \vec{F N} =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} e^{x} ， x \leq 0 \\ \ln x ， x > 0 \end{matrix}$ ， $g (x) = f (x) + x + a$ .若 $g (x)$ 存在2个零点，则a的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 0)$ B、 $[0 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为 $p_{1} ， p_{2} ， p_{3}$ ，则（）

A、 $p_{1} = p_{2}$ B、 $p_{1} = p_{3}$ C、 $p_{2} = p_{3}$ D、 $p_{1} = p_{2} + p_{3}$

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11. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ ，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若 $Δ O M N$ 为直角三角形，则 $| M N |$ =（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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12. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 $α$ 所成的角都相等，则 $α$ 截此正方体所得截面面积的最大值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

13. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{cases} x - 2 y - 2 \leq 0 ， \\ x - y + 1 \geq 0 ， \\ y \leq 0 ， \end{cases}$ 则 $z = 3 x + 2 y$ 的最大值为.

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14. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项的和，若 $S_{n} = 2 a_{n} + 1$ ，则 $S_{6}$ =.

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15. 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.(用数字填写答案)

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16. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x + \sin 2 x$ ，则 $f (x)$ 的最小值是.

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17. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = 90^{\circ} ，$ $∠ A = 45^{\circ} ，$ $A B = 2 ，$ $B D = 5.$

(1)、求 $\cos ∠ A D B$ ；

(2)、若 $D C = 2 \sqrt{2} ，$ 求 $B C$ .

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 为正方形， $E ， F$ 分别为 $A D ， B C$ 的中点，以 $D F$ 为折痕把 $Δ D F C$ 折起，使点 $C$ 到达点 $P$ 的位置，且 $P F ⊥ Β F$ .

(1)、证明：平面 $P E F ⊥$ 平面 $A B F D$ ；

(2)、求 $D P$ 与平面 $A B F D$ 所成角的正弦值.

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19. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 得直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，点 $M$ 的坐标为 $(2 ， 0)$ .

(1)、当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，求直线 $A M$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，证明： $∠ O M A = ∠ O M B$ .

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20. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格的概率为品p（ $0 < p < 1$ ），且各件产品是否为不合格品相互独立。

(1)、记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 $f (p)$ ，求 $f (p)$ 的最大值点 $p_{0}$

(2)、现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的 $p_{0}$ 作为 $p$ 的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用
(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱的检验费用与赔偿费用的和记为 $X$ ，求 $E X$ ；
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} - x + a \ln x$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < a - 2$

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三、选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}$ 的方程为 $y = k | x | + 2$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} + 2 ρ \cos θ - 3 = 0$

(1)、求 $C_{2}$ 的直角坐标方程

(2)、若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 有且仅有三个公共点，求 $C_{1}$ 的方程

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四、选考题[选修4-5：不等式选讲]

23. 已知 $f (x) = | x + 1 | - | a x - 1 |$

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) > 1$ 的解集

(2)、若 $x \in (0 ， 1)$ 时，不等式 $f (x) > x$ 成立，求 $a$ 的取值范围

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