2018年高考文数真题试卷（北京卷）

试卷更新日期：2018-06-09 类型：高考真卷

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一、选择题

1. 已知集合A={x||x|<2}，B={-2，0，1，2}，则A $\cap$ B=（）

A、{0，1} B、{-1，0，1} C、{-2，0，1，2} D、{-1，0，1，2}

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2. 在复平面内，复数 $\frac{1}{1 - i}$ 的共轭复数对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{7}{6}$ D、 $\frac{7}{12}$

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4. 设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于 $\sqrt[12]{2}$ ，若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）

A、 $\sqrt[3]{2} f$ B、 $\sqrt[3]{2^{2}} f$ C、 $\sqrt[12]{2^{5}} f$ D、 $\sqrt[12]{2^{7}} f$

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6. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 在平面坐标系中， $\overset{⌢}{A B}$ ， $\overset{⌢}{C D}$ ， $\overset{⌢}{E F}$ ， $\overset{⌢}{G H}$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角 $α$ 以Ox为始边，OP为终边，若 $\tan α < \cos α < \sin α$ ，则P所在的圆弧是（）

A、 $\overset{⌢}{A B}$ B、 $\overset{⌢}{C D}$ C、 $\overset{⌢}{E F}$ D、 $\overset{⌢}{G H}$

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8. 设集合A= ${(x ， y) | x - y \geq 1 ， a x + y > 4 ， x - a y \leq 2}$ ，则（）

A、对任意实数a， $(2 ， 1) \in A$ B、对任意实数a， $(2 ， 1) \notin A$ C、当且仅当 $a < 0$ 时， $(2 ， 1) \notin A$ D、当且仅当a $\leq \frac{3}{2}$ 时， $(2 ， 1) \notin A$

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二、填空题

9. 设向量a=（1，0），b=（-1，m），若a⊥（ma-b），则m=.

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10. 已知直线l过点（1，0）且垂直于x轴，若l被抛物线 $y^{2} = 4 a x$ 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为.

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11. 能说明“若a﹥b ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”为假命题的一组a ， b的值依次为.

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12. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4}$ =1（a﹥0）的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则a=.

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13. 若x，y满足x+1 $\leq$ y $\leq$ 2x，则2y-x的最小值是.

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14. 若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ （ $a^{2} + c^{2} - b^{2}$ ），且∠C为钝角，则∠B=； $\frac{c}{a}$ 的取值范围是.

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三、解答题

15. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列，且 $a_{1} = \ln 2$ ， $a_{2}$ +a₃=5 $\ln 2$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）求 $e^{a_{1}}$ + $e^{a_{2}}$ +…+ $e^{a_{n}}$ .

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16. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x$
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期
（Ⅱ）若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， m]$ 上的最大值为 $\frac{3}{2}$ ，求 $m$ 的最小值.

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17. 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）

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18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD ， PA⊥PD ， PA=PD ， E ， F分别为AD ， PB的中点.
（Ⅰ）求证：PE⊥BC；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.

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19. 设函数 $f (x) = [a x^{2} - (3 a + 1) x + 3 a + 2] e^{x}$ .
（Ⅰ）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值，求a的取值范围.

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20. 已知椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，焦距2 $\sqrt{2}$ .斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A ， B.
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若 $k = 1$ ，求 $| A B |$ 的最大值；
（Ⅲ）设 $P (- 2 ， 0)$ ，直线PA与椭圆M的另一个交点为C ，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C ， D和点 $Q (- \frac{7}{4} ， \frac{1}{4})$ 共线，求k.

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电影类型	第一类	第二类	第三类	第四类	第五类	第六类
电影部数	140	50	300	200	800	510
好评率	0.4	0.2	0.15	0.25	0.2	0.1