2018年高考理数真题试卷（北京卷）

试卷更新日期：2018-06-09 类型：高考真卷

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一、选择题

1. 已知集合A={x||x|<2}，B={-2，0，1，2}，则A $\cap$ B=（）

A、{0，1} B、{-1，0，1} C、{-2，0，1，2} D、{-1，0，1，2}

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2. 在复平面内，复数 $\frac{1}{1 - i}$ 的共轭复数对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{7}{6}$ D、 $\frac{7}{12}$

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4. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于 $\sqrt[12]{2}$ ，若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）

A、 $\sqrt[3]{2} f$ B、 $\sqrt[3]{2^{2}} f$ C、 $\sqrt[12]{2^{5}} f$ D、 $\sqrt[12]{2^{7}} f$

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5. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 设a ， b均为单位向量，则“ $| a - 3 b | = | 3 a + b |$ ”是“a $⊥ b$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 在平面直角坐标系中，记d为点 $ρ (\cos θ ， \sin θ)$ 到直线x-my-2=0的距离，当 $θ$ ， m变化时，d的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 设集合A= ${(x ， y) | x - y \geq 1 ， a x + y > 4 ， x - a y \leq 2}$ ，则（）

A、对任意实数a， $(2 ， 1) \in A$ B、对任意实数a， $(2 ， 1) \notin A$ C、当且仅当 $a < 0$ 时， $(2 ， 1) \notin A$ D、当且仅当a $\leq \frac{3}{2}$ 时， $(2 ， 1) \notin A$

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二、填空题

9. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列，且a₁=3， a₂+a₅= 36，则 ${a_{n}}$ 的通项公式为

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10. 在极坐标系中，直线 $ρ \cos θ + ρ \sin θ$ =a $(a > 0)$ 与圆 $ρ$ =2 $\cos θ$ 相切，则a=

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11. 设函数f(x)= $\cos (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，若 $f (x) \leq f (\frac{π}{4})$ 对任意的实数x都成立，则 $ω$ 的最小值为

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12. 若x ， y满足x+1 $\leq y \leq 2 x$ ，则2y - x的最小值是

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13. 能说明“若f $(x) > f (0)$ 对任意的x $\in (0 ， 2]$ 都成立，则f $(x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上是增函数”为假命题的一个函数是

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14. 已知椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，双曲线 $N ： \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1$ . 若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为

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三、解答题

15. 在△ABC中，a=7，b=8，cosB=- $\frac{1}{7}$ ，
（Ⅰ）求∠A：
（Ⅱ）求AC边上的高。

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16. 如图，在三菱柱ABC- $A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面ABC。 D，E，F，G分别为 $A A_{1}$ ，AC， $A_{1} C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，AB=BC= $\sqrt{5}$ ，AC= $A A_{1}$ =2。

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF：
（Ⅱ）求二面角B-CD- $C$ ₁的余弦值：
（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交。

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17. 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值
假设所有电影是否获得好评相互独立。
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ $ξ_{k} = 1$ ”表示第k类电影得到人们喜欢，“ $ξ_{k} = 0$ ”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6），写出方差 $D ξ_{1} ， D ξ_{2} ， D ξ_{3} ， D ξ_{4} ， D ξ_{5} ， D ξ_{6}$ 的大小关系。

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18. 设函数 $f (x)$ =[ $a x^{2}$ -(4a+1)x+4a+3] $e^{x}$ .
（I）若曲线y= f（x）在点(1， $f (1)$ )处的切线与X轴平行，求a：
(II)若 $f (x)$ 在x=2处取得极小值，求a的取值范围。

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19. 已知抛物线C： $y^{2}$ =2px经过点p(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B ，且直线PA交y轴于M ，直线PB交y轴于N.
(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围；

(Ⅱ)设O为原点， $\vec{Q M} = λ \vec{Q O}$ ， $\vec{Q N} = μ \vec{Q O}$ ，求证： $\frac{1}{λ}$ + $\frac{1}{μ}$ 为定值.

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20. 设n为正整数，集合A= ${α | α = (t_{1} ， t_{2} \dots t_{n}) ， t_{k} \in {0 ， 1} ， k = 1 ， 2 ， \dots ， n}$ ，对于集合A中的任意元素 $α =$ ${x_{1} ， x_{2} \dots x_{n}}$ 和 $β$ = ${y_{1} ， y_{2} \dots y_{n}}$ ，记
M（ $α ， β$ ）= $\frac{1}{2}$ [( $x_{1} + y_{1} - | x_{1} - y_{1} |$ )+（ $x_{2} + y_{2} - | x_{2} - y_{2} |$ ）+ +（ $x_{n} + y_{n} - | x_{n} - y_{n} |$ ）]
(Ⅰ)当n=3时，若 $α = (1 ， 1 ， 0)$ ， $β =$ （0，1，1），求M（ $α ， α$ ）和M（ $α ， β$ ）的值；
(Ⅱ)当n=4时，设B是A的子集，且满足；对于B中的任意元素 $α ， β$ ，当a，β相同时，M( $α ， β$ )是奇数；当aβ不同时，M( $α ， β$ )是偶数，求集合B中元素个数的最大值
(Ⅲ)给定不小于2的n ，设B是A的子集，且满足；对于B中的任意两个不同的元素 $α ， β$ ，M( $α ， β$ )=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由.

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电影类型	第一类	第二类	第三类	第四类	第五类	第六类
电影部数	140	50	300	200	800	510
好评率	0.4	0.2	0.15	0.25	0.2	0.1