2018年高考数学真题试卷（江苏卷）

试卷更新日期：2018-06-09 类型：高考真卷

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 8} ， B = {- 1 ， 1 ， 6 ， 8}$ ，那么 $A \cap B =$ .

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2. 若复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 1 + 2 i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $z$ 的实部为.

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3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为.

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4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 $S$ 的值为.

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5. 函数 $f (x) = \sqrt{\log_{2} x- 1}$ 的定义域为.

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6. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率是.

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7. 已知函数 $y = \sin (2 x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，则 $φ$ 的值是.

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点 $F (c ， 0)$ 到一条渐近线的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2} c$ ，则其离心率的值是

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9. 函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 4) = f (x) (x \in R)$ ，且在区间 $(- 2 ， 2)$ 上 $f (x) = {\begin{cases} \cos \frac{π x}{2} ， 0 < x \leq 2 \\ | x + \frac{1}{2} | ， - 2 < x \leq 0 \end{cases}$ ，则 $f (f (15))$ 的值为

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10. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为

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二、解答题

11. 若函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2} + 1 (a \in R)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 内有且只有一个零点，则 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值与最小值的和为

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12. 在平面直角坐标系 $X O Y$ 中， $A$ 为直线 $l ： y = 2 x$ 上在第一象限内的点， $B (5 ， 0)$ 以 $A B$ 为直径的圆 $C$ 与直线 $l$ 交于另一点 $D$ ，若 $\vec{A B} \cdot \vec{C D} = 0$ ，则点 $A$ 的横坐标为

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13. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对应的边分别为 $a ， b ， c$ $∠ A B C = 120^{\circ}$ ， $∠ A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，且 $B D = 1$ ，则 $4 a + c$ 的最小值为

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14. 已知集合 $A = {x | x = 2 n - 1 ， n \in N^{*}} ， B = {x | x = 2^{n} ， n \in N^{*}}$ ，将 $A \cup B$ 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 ${a_{n}}$ ，记 $S_{n}$ 为数列的前 $n$ 项和，则使得 $S_{n} > 12 a_{n + 1}$ 成立的 $n$ 的最小值为.

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15. 在平行四边形 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = A B ， A B_{1} ⊥ B_{1} C_{1}$

求证：

(1)、 $A B / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C$

(2)、平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C$

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16. 已知 $α ， β$ 为锐角， $\tan α = \frac{4}{3}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ 。

(1)、求 $\cos 2 α$ 的值。

(2)、求 $\tan (α - β)$ 的值。

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17. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 $O$ 的一段圆弧 $M P N$ ( $P$ 为此圆弧的中点)和线段 $M N$ 构成，已知圆 $O$ 的半径为40米，点 $P$ 到 $M N$ 的距离为50米，先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 $A B C D$ .大棚Ⅱ内的地块形状为 $Δ C D P$ 要求 $A B$ 均在线段 $M N$ 上， $C ， D$ 均在圆弧上，设 $O C$ 与 $M N$ 所成的角为θ

(1)、用 $θ$ 分别表示矩形 $A B C D$ 和 $Δ C D P$ 的面积，并确定 $\sin θ$ 的取值范围

(2)、若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3.求当 $θ$ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆C过点 $(\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ ，焦点 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0) ， F_{2} (\sqrt{3} ， 0)$ ，圆O的直径为 $F_{1} F_{2}$ .

(1)、求椭圆C及圆O的方程；

(2)、设直线 $l$ 与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线 $l$ 与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线 $l$ 与椭圆C交于A、B两点.若 $Δ O A B$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{6}}{7}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19. 记 $f^{'} (x) ， g^{'} (x)$ 分别为函数 $f (x) ， g (x)$ 的导函数.若存在 $x_{0} \in R$ ，满足 $f (x_{0}) = g (x_{0})$ 且 $f^{'} (x_{0}) = g^{'} (x_{0})$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的一个“S点”.

(1)、证明：函数 $f (x) = x$ 与 $g (x) = x^{2} + 2 x - 2$ 不存在“S点”.

(2)、若函数 $f (x) = a x^{2} - 1$ 与 $g (x) = \ln x$ 存在“S点”，求实数 $a$ 的值.

(3)、已知函数 $f (x) = - x^{2} + a$ ， $g (x) = \frac{b e^{x}}{x}$ ，对任意 $a > 0$ ，判断是否存在 $b > 0$ ，使函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 内存在”S点”，并说明理由.

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20. 设{ $a_{n}$ }是首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ 的等差数列， ${{b}_{n}}$ 是首项 $b_{1}$ ，公比为q的等比数列

(1)、设 $a_{1} =0 ， b_{1} =1，q=2 ，$ 若 $| a_{n} {-b}_{n} | \leq b_{1}$ 对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围

(2)、若 $a_{1} {=b}_{1} > 0$ ， $m \in N^{*}$ ， $q \in (1 ， \sqrt[m]{2}]$ 证明：存在 $d \in R$ ，使得 $| a_{n} {-b}_{n} | \leq b_{1}$ 对
n=2，3，…， $m+ 1$ 均成立，并求 $d$ 的取值范围（用 $b_{1}$ $， m ，q$ 表示）。

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